Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc1 16575
 Description: The pair function maps 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc1 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = 𝐵)

Proof of Theorem xpsc1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 16571 . . . 4 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))
21fveq1i 6435 . . 3 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘1o)
3 vex 3418 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
4 fvi 6503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘𝑥) = 𝑥
6 elsni 4415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
76fveq2d 6438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐴))
85, 7syl5eqr 2876 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = ( I ‘𝐴))
9 velsn 4414 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐴))
108, 9sylibr 226 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)})
1110ssriv 3832 . . . . . . . . 9 {𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)}
12 xpss2 5363 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)} → ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)})
14 0ex 5015 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
15 fvex 6447 . . . . . . . . 9 ( I ‘𝐴) ∈ V
1614, 15xpsn 6658 . . . . . . . 8 ({∅} × {( I ‘𝐴)}) = {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
1713, 16sseqtri 3863 . . . . . . 7 ({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
1814, 15funsn 6176 . . . . . . 7 Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
19 funss 6143 . . . . . . 7 (({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → (Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → Fun ({∅} × {𝐴})))
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . 6 Fun ({∅} × {𝐴})
21 funfn 6154 . . . . . 6 (Fun ({∅} × {𝐴}) ↔ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
2220, 21mpbi 222 . . . . 5 ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴})
2322a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
24 fnconstg 6331 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({1o} × {𝐵}) Fn {1o})
25 dmxpss 5807 . . . . . . 7 dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅}
26 ssrin 4063 . . . . . . 7 (dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅} → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) ⊆ ({∅} ∩ {1o}))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) ⊆ ({∅} ∩ {1o})
28 1n0 7843 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
2928necomi 3054 . . . . . . 7 ∅ ≠ 1o
30 disjsn2 4467 . . . . . . 7 (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ {1o}) = ∅
32 sseq0 4201 . . . . . 6 (((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) ⊆ ({∅} ∩ {1o}) ∧ ({∅} ∩ {1o}) = ∅) → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅)
3327, 31, 32mp2an 685 . . . . 5 (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅
3433a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅)
35 1oex 7835 . . . . . 6 1o ∈ V
3635snid 4430 . . . . 5 1o ∈ {1o}
3736a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → 1o ∈ {1o})
38 fvun2 6518 . . . 4 ((({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}) ∧ ({1o} × {𝐵}) Fn {1o} ∧ ((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅ ∧ 1o ∈ {1o})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘1o) = (({1o} × {𝐵})‘1o))
3923, 24, 34, 37, 38syl112anc 1499 . . 3 (𝐵𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘1o) = (({1o} × {𝐵})‘1o))
402, 39syl5eq 2874 . 2 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = (({1o} × {𝐵})‘1o))
41 1on 7834 . . 3 1o ∈ On
42 xpsng 6657 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → ({1o} × {𝐵}) = {⟨1o, 𝐵⟩})
4342fveq1d 6436 . . . 4 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → (({1o} × {𝐵})‘1o) = ({⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
44 fvsng 6699 . . . 4 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → ({⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
4543, 44eqtrd 2862 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → (({1o} × {𝐵})‘1o) = 𝐵)
4641, 45mpan 683 . 2 (𝐵𝑉 → (({1o} × {𝐵})‘1o) = 𝐵)
4740, 46eqtrd 2862 1 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415   ∪ cun 3797   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  {csn 4398  ⟨cop 4404   I cid 5250   × cxp 5341  ◡ccnv 5342  dom cdm 5343  Oncon0 5964  Fun wfun 6118   Fn wfn 6119  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  1oc1o 7820   +𝑐 ccda 9305 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-ord 5967  df-on 5968  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1o 7827  df-cda 9306 This theorem is referenced by:  xpscfv  16576  xpsfeq  16578  xpsfrnel2  16579  xpsff1o  16582  xpsle  16595  dmdprdpr  18803  dprdpr  18804  xpstopnlem1  21984  xpstopnlem2  21986  xpsxmetlem  22555  xpsdsval  22557  xpsmet  22558
 Copyright terms: Public domain W3C validator