Theorem xpsc1 16575

Description: The pair function maps 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = 𝐵)

Proof of Theorem xpsc1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsc 16571	. . . 4 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))
2	1	fveq1i 6435	. . 3 ⊢ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘1o)
3		vex 3418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		fvi 6503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
6		elsni 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7	6	fveq2d 6438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐴))
8	5, 7	syl5eqr 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = ( I ‘𝐴))
9		velsn 4414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐴))
10	8, 9	sylibr 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)})
11	10	ssriv 3832	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)}
12		xpss2 5363	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)} → ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)})
14		0ex 5015	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fvex 6447	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
16	14, 15	xpsn 6658	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × {( I ‘𝐴)}) = {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
17	13, 16	sseqtri 3863	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
18	14, 15	funsn 6176	. . . . . . 7 ⊢ Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
19		funss 6143	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → (Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → Fun ({∅} × {𝐴})))
20	17, 18, 19	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ Fun ({∅} × {𝐴})
21		funfn 6154	. . . . . 6 ⊢ (Fun ({∅} × {𝐴}) ↔ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
22	20, 21	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴})
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
24		fnconstg 6331	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({1o} × {𝐵}) Fn {1o})
25		dmxpss 5807	. . . . . . 7 ⊢ dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅}
26		ssrin 4063	. . . . . . 7 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅} → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) ⊆ ({∅} ∩ {1o}))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) ⊆ ({∅} ∩ {1o})
28		1n0 7843	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
29	28	necomi 3054	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ 1o
30		disjsn2 4467	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ {1o}) = ∅
32		sseq0 4201	. . . . . 6 ⊢ (((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) ⊆ ({∅} ∩ {1o}) ∧ ({∅} ∩ {1o}) = ∅) → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅)
33	27, 31, 32	mp2an 685	. . . . 5 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅)
35		1oex 7835	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
36	35	snid 4430	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {1o}
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1o ∈ {1o})
38		fvun2 6518	. . . 4 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}) ∧ ({1o} × {𝐵}) Fn {1o} ∧ ((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1o}) = ∅ ∧ 1o ∈ {1o})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘1o) = (({1o} × {𝐵})‘1o))
39	23, 24, 34, 37, 38	syl112anc 1499	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘1o) = (({1o} × {𝐵})‘1o))
40	2, 39	syl5eq 2874	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = (({1o} × {𝐵})‘1o))
41		1on 7834	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
42		xpsng 6657	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({1o} × {𝐵}) = {⟨1o, 𝐵⟩})
43	42	fveq1d 6436	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (({1o} × {𝐵})‘1o) = ({⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
44		fvsng 6699	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
45	43, 44	eqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (({1o} × {𝐵})‘1o) = 𝐵)
46	41, 45	mpan 683	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (({1o} × {𝐵})‘1o) = 𝐵)
47	40, 46	eqtrd 2862	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415   ∪ cun 3797   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  {csn 4398  ⟨cop 4404   I cid 5250   × cxp 5341  ^◡ccnv 5342  dom cdm 5343  Oncon0 5964  Fun wfun 6118   Fn wfn 6119  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  1_oc1o 7820   +_𝑐 ccda 9305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-ord 5967  df-on 5968  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1o 7827  df-cda 9306

This theorem is referenced by:  xpscfv  16576  xpsfeq  16578  xpsfrnel2  16579  xpsff1o  16582  xpsle  16595  dmdprdpr  18803  dprdpr  18804  xpstopnlem1  21984  xpstopnlem2  21986  xpsxmetlem  22555  xpsdsval  22557  xpsmet  22558