MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpscfv 16534
Description: The value of the pair function at an element of 2𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfv ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem xpscfv
StepHypRef Expression
1 elpri 4388 . . . 4 (𝐶 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
2 df2o3 7811 . . . 4 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
31, 2eleq2s 2894 . . 3 (𝐶 ∈ 2𝑜 → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
4 xpsc0 16532 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
54adantr 473 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
6 fveq2 6409 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
7 iftrue 4281 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
86, 7eqeq12d 2812 . . . . 5 (𝐶 = ∅ → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴))
95, 8syl5ibrcom 239 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
10 xpsc1 16533 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
1110adantl 474 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
12 fveq2 6409 . . . . . 6 (𝐶 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
13 1n0 7813 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
14 neeq1 3031 . . . . . . . 8 (𝐶 = 1𝑜 → (𝐶 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
1513, 14mpbiri 250 . . . . . . 7 (𝐶 = 1𝑜𝐶 ≠ ∅)
16 ifnefalse 4287 . . . . . . 7 (𝐶 ≠ ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐶 = 1𝑜 → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1812, 17eqeq12d 2812 . . . . 5 (𝐶 = 1𝑜 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵))
1911, 18syl5ibrcom 239 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
209, 19jaod 886 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
213, 20syl5 34 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 2𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
22213impia 1146 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  c0 4113  ifcif 4275  {csn 4366  {cpr 4368  ccnv 5309  cfv 6099  (class class class)co 6876  1𝑜c1o 7790  2𝑜c2o 7791   +𝑐 ccda 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-ord 5942  df-on 5943  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1o 7797  df-2o 7798  df-cda 9276
This theorem is referenced by:  xpsfrn2  16542  xpslem  16545  xpsaddlem  16547  xpsvsca  16551
  Copyright terms: Public domain W3C validator