Theorem xpscfv 16534

Description: The value of the pair function at an element of 2_𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem xpscfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4388	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
2		df2o3 7811	. . . 4 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
3	1, 2	eleq2s 2894	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 2𝑜 → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
4		xpsc0 16532	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
5	4	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
6		fveq2 6409	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
7		iftrue 4281	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
8	6, 7	eqeq12d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴))
9	5, 8	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 = ∅ → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
10		xpsc1 16533	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
11	10	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
12		fveq2 6409	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
13		1n0 7813	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
14		neeq1 3031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → (𝐶 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
15	13, 14	mpbiri 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → 𝐶 ≠ ∅)
16		ifnefalse 4287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
18	12, 17	eqeq12d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵))
19	11, 18	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 = 1𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
20	9, 19	jaod 886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
21	3, 20	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 2𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
22	21	3impia 1146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∨ wo 874   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969  ∅c0 4113  ifcif 4275  {csn 4366  {cpr 4368  ^◡ccnv 5309  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  1_𝑜c1o 7790  2_𝑜c2o 7791   +_𝑐 ccda 9275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-ord 5942  df-on 5943  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1o 7797  df-2o 7798  df-cda 9276

This theorem is referenced by:  xpsfrn2  16542  xpslem  16545  xpsaddlem  16547  xpsvsca  16551