Theorem znnenlemOLD 15321

Description: Obsolete as of 6-Sep-2022. Used to be a lemma for znnen 15322. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
znnenlemOLD	⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Proof of Theorem znnenlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11715	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		zre 11715	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		0re 10365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnle 10443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
5	3, 4	mpan2 682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑦))
7	6	anbi1d 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
8		ltletr 10455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
9	3, 8	mp3an2 1577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
10	7, 9	sylbird 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
11	10	ancoms 452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((¬ 0 ≤ 𝑦 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
12	11	ancomsd 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 < 𝑥))
13		ltne 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
14	13	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
15	14	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
16	12, 15	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
17	1, 2, 16	syl2an 589	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦))
18	17	impcom 398	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
19		znegcl 11747	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
20		zneo 11795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
21	19, 20	sylan2 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · -𝑦) + 1))
22		2cn 11433	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		zcn 11716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
24		mulneg12 10799	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
25	22, 23, 24	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
26	25	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-2 · 𝑦) = (2 · -𝑦))
27	26	oveq1d 6925	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-2 · 𝑦) + 1) = ((2 · -𝑦) + 1))
28	21, 27	neeqtrrd 3073	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
29	28	adantl 475	. . 3 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1))
30	18, 29	2thd 257	. 2 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) ≠ ((-2 · 𝑦) + 1)))
31	30	necon4bid 3044	1 ⊢ (((0 ≤ 𝑥 ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (2 · 𝑥) = ((-2 · 𝑦) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   ≤ cle 10399  -cneg 10593  2c2 11413  ℤcz 11711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712

This theorem is referenced by: (None)