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Theorem nfexd 1660
Description: If  x is not free in  ph, it is not free in  E. y ph. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 7-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
nfald.1  |-  F/ y
ph
nfald.2  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
Assertion
Ref Expression
nfexd  |-  ( ph  ->  F/ x E. y ps )

Proof of Theorem nfexd
StepHypRef Expression
1 nfald.1 . . . . . . 7  |-  F/ y
ph
21nfri 1428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y ph )
3 nfald.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
4 df-nf 1366 . . . . . . 7  |-  ( F/ x ps  <->  A. x
( ps  ->  A. x ps ) )
53, 4sylib 131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)
62, 5alrimih 1374 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y A. x
( ps  ->  A. x ps ) )
7 alcom 1383 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( ps 
->  A. x ps )  <->  A. x A. y ( ps  ->  A. x ps ) )
86, 7sylib 131 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ps  ->  A. x ps ) )
9 exim 1506 . . . . 5  |-  ( A. y ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( E. y ps 
->  E. y A. x ps ) )
109alimi 1360 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ps 
->  A. x ps )  ->  A. x ( E. y ps  ->  E. y A. x ps ) )
118, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x ( E. y ps  ->  E. y A. x ps ) )
12 19.12 1571 . . . . 5  |-  ( E. y A. x ps 
->  A. x E. y ps )
1312imim2i 12 . . . 4  |-  ( ( E. y ps  ->  E. y A. x ps )  ->  ( E. y ps  ->  A. x E. y ps ) )
1413alimi 1360 . . 3  |-  ( A. x ( E. y ps  ->  E. y A. x ps )  ->  A. x
( E. y ps 
->  A. x E. y ps ) )
1511, 14syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x ( E. y ps  ->  A. x E. y ps ) )
16 df-nf 1366 . 2  |-  ( F/ x E. y ps  <->  A. x ( E. y ps  ->  A. x E. y ps ) )
1715, 16sylibr 141 1  |-  ( ph  ->  F/ x E. y ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1257   F/wnf 1365   E.wex 1397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-4 1416  ax-ial 1443
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366
This theorem is referenced by:  nfsbxy  1834  nfsbxyt  1835  nfeudv  1931  nfmod  1933  nfeld  2209  nfrexdxy  2374
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