New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  enpw GIF version

Theorem enpw 6087
 Description: If A and B are equinumerous, then so are their power sets. Theorem XI.1.36 of [Rosser] p. 369. (Contributed by SF, 17-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enpw (ABAB)

Proof of Theorem enpw
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brex 4689 . 2 (AB → (A V B V))
2 breq1 4642 . . . 4 (a = A → (abAb))
3 pweq 3725 . . . . 5 (a = Aa = A)
43breq1d 4649 . . . 4 (a = A → (abAb))
52, 4imbi12d 311 . . 3 (a = A → ((abab) ↔ (AbAb)))
6 breq2 4643 . . . 4 (b = B → (AbAB))
7 pweq 3725 . . . . 5 (b = Bb = B)
87breq2d 4651 . . . 4 (b = B → (AbAB))
96, 8imbi12d 311 . . 3 (b = B → ((AbAb) ↔ (ABAB)))
10 enmap2 6068 . . . 4 (ab → ({V, } ↑m a) ≈ ({V, } ↑m b))
11 vn0 3557 . . . . . . 7 V ≠
12 eqid 2353 . . . . . . 7 {V, } = {V, }
13 vvex 4109 . . . . . . . 8 V V
14 0ex 4110 . . . . . . . 8 V
15 vex 2862 . . . . . . . 8 a V
1613, 14, 15enprmapc 6083 . . . . . . 7 ((V ≠ {V, } = {V, }) → ({V, } ↑m a) ≈ a)
1711, 12, 16mp2an 653 . . . . . 6 ({V, } ↑m a) ≈ a
18 ensym 6037 . . . . . 6 (a ≈ ({V, } ↑m a) ↔ ({V, } ↑m a) ≈ a)
1917, 18mpbir 200 . . . . 5 a ≈ ({V, } ↑m a)
20 vex 2862 . . . . . . . 8 b V
2113, 14, 20enprmapc 6083 . . . . . . 7 ((V ≠ {V, } = {V, }) → ({V, } ↑m b) ≈ b)
2211, 12, 21mp2an 653 . . . . . 6 ({V, } ↑m b) ≈ b
23 entr 6038 . . . . . 6 ((({V, } ↑m a) ≈ ({V, } ↑m b) ({V, } ↑m b) ≈ b) → ({V, } ↑m a) ≈ b)
2422, 23mpan2 652 . . . . 5 (({V, } ↑m a) ≈ ({V, } ↑m b) → ({V, } ↑m a) ≈ b)
25 entr 6038 . . . . 5 ((a ≈ ({V, } ↑m a) ({V, } ↑m a) ≈ b) → ab)
2619, 24, 25sylancr 644 . . . 4 (({V, } ↑m a) ≈ ({V, } ↑m b) → ab)
2710, 26syl 15 . . 3 (abab)
285, 9, 27vtocl2g 2918 . 2 ((A V B V) → (ABAB))
291, 28mpcom 32 1 (ABAB)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859  ∅c0 3550  ℘cpw 3722  {cpr 3738   class class class wbr 4639  (class class class)co 5525   ↑m cmap 5999   ≈ cen 6028 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-map 6001  df-en 6029 This theorem is referenced by:  ce2le  6233
 Copyright terms: Public domain W3C validator