New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fnpm GIF version

Theorem fnpm 6008
 Description: Partial function exponentiation has a universal domain. (Contributed by set.mm contributors, 14-Nov-2013.) (Revised by Scott Fenton, 19-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnpm pm Fn V

Proof of Theorem fnpm
Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pm 6002 . . 3 pm = (x V, y V {f (y × x) Fun f})
2 elin 3219 . . . . . 6 (f ((y × x) ∩ Funs ) ↔ (f (y × x) f Funs ))
32abbi2i 2464 . . . . 5 ((y × x) ∩ Funs ) = {f (f (y × x) f Funs )}
4 df-rab 2623 . . . . 5 {f (y × x) f Funs } = {f (f (y × x) f Funs )}
5 vex 2862 . . . . . . . 8 f V
65elfuns 5829 . . . . . . 7 (f Funs ↔ Fun f)
76rgenw 2681 . . . . . 6 f (y × x)(f Funs ↔ Fun f)
8 rabbi 2789 . . . . . 6 (f (y × x)(f Funs ↔ Fun f) ↔ {f (y × x) f Funs } = {f (y × x) Fun f})
97, 8mpbi 199 . . . . 5 {f (y × x) f Funs } = {f (y × x) Fun f}
103, 4, 93eqtr2i 2379 . . . 4 ((y × x) ∩ Funs ) = {f (y × x) Fun f}
11 vex 2862 . . . . . . 7 y V
12 vex 2862 . . . . . . 7 x V
1311, 12xpex 5115 . . . . . 6 (y × x) V
1413pwex 4329 . . . . 5 (y × x) V
15 funsex 5828 . . . . 5 Funs V
1614, 15inex 4105 . . . 4 ((y × x) ∩ Funs ) V
1710, 16eqeltrri 2424 . . 3 {f (y × x) Fun f} V
181, 17fnmpt2i 5733 . 2 pm Fn (V × V)
19 xpvv 4843 . . 3 (V × V) = V
2019fneq2i 5179 . 2 ( ↑pm Fn (V × V) ↔ ↑pm Fn V)
2118, 20mpbi 199 1 pm Fn V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2614  {crab 2618  Vcvv 2859   ∩ cin 3208  ℘cpw 3722   × cxp 4770  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776   Funs cfuns 5759   ↑pm cpm 6000 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-pm 6002 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator