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Theorem u4lem1 737
Description: Lemma for unified implication study. (Contributed by NM, 16-Dec-1997.)
Assertion
Ref Expression
u4lem1 ((a4 b) →4 a) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))

Proof of Theorem u4lem1
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . 2 ((a4 b) →4 a) = ((((a4 b) ∩ a) ∪ ((a4 b)a)) ∪ (((a4 b)a) ∩ a ))
2 u4lemaa 603 . . . . 5 ((a4 b) ∩ a) = (ab)
3 u4lemnaa 643 . . . . 5 ((a4 b)a) = (ab )
42, 32or 72 . . . 4 (((a4 b) ∩ a) ∪ ((a4 b)a)) = ((ab) ∪ (ab ))
5 u4lemnoa 663 . . . . 5 ((a4 b)a) = ((ab) ∩ (ab ))
65ran 78 . . . 4 (((a4 b)a) ∩ a ) = (((ab) ∩ (ab )) ∩ a )
74, 62or 72 . . 3 ((((a4 b) ∩ a) ∪ ((a4 b)a)) ∪ (((a4 b)a) ∩ a )) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ (((ab) ∩ (ab )) ∩ a ))
8 ancom 74 . . . . 5 (((ab) ∩ (ab )) ∩ a ) = (a ∩ ((ab) ∩ (ab )))
98lor 70 . . . 4 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (((ab) ∩ (ab )) ∩ a )) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ ((ab) ∩ (ab ))))
10 comanr1 464 . . . . . . . 8 a C (ab)
11 comanr1 464 . . . . . . . 8 a C (ab )
1210, 11com2or 483 . . . . . . 7 a C ((ab) ∪ (ab ))
1312comcom3 454 . . . . . 6 a C ((ab) ∪ (ab ))
14 comorr 184 . . . . . . . 8 a C (ab)
15 comorr 184 . . . . . . . 8 a C (ab )
1614, 15com2an 484 . . . . . . 7 a C ((ab) ∩ (ab ))
1716comcom3 454 . . . . . 6 a C ((ab) ∩ (ab ))
1813, 17fh4 472 . . . . 5 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ ((ab) ∩ (ab )))) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab) ∩ (ab ))))
19 comor1 461 . . . . . . . . . . 11 (ab) C a
20 comor2 462 . . . . . . . . . . 11 (ab) C b
2119, 20com2an 484 . . . . . . . . . 10 (ab) C (ab)
2220comcom2 183 . . . . . . . . . . 11 (ab) C b
2319, 22com2an 484 . . . . . . . . . 10 (ab) C (ab )
2421, 23com2or 483 . . . . . . . . 9 (ab) C ((ab) ∪ (ab ))
2519, 22com2or 483 . . . . . . . . 9 (ab) C (ab )
2624, 25fh4 472 . . . . . . . 8 (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab) ∩ (ab ))) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab)) ∩ (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )))
27 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (ab) ≤ a
28 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (ab ) ≤ a
2927, 28lel2or 170 . . . . . . . . . . 11 ((ab) ∪ (ab )) ≤ a
30 leo 158 . . . . . . . . . . 11 a ≤ (ab)
3129, 30letr 137 . . . . . . . . . 10 ((ab) ∪ (ab )) ≤ (ab)
3231df-le2 131 . . . . . . . . 9 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab)) = (ab)
33 leo 158 . . . . . . . . . . 11 a ≤ (ab )
3429, 33letr 137 . . . . . . . . . 10 ((ab) ∪ (ab )) ≤ (ab )
3534df-le2 131 . . . . . . . . 9 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = (ab )
3632, 352an 79 . . . . . . . 8 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab)) ∩ (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab ))) = ((ab) ∩ (ab ))
3726, 36ax-r2 36 . . . . . . 7 (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab) ∩ (ab ))) = ((ab) ∩ (ab ))
3837lan 77 . . . . . 6 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab) ∩ (ab )))) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
39 id 59 . . . . . 6 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab ))) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
4038, 39ax-r2 36 . . . . 5 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab) ∩ (ab )))) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
4118, 40ax-r2 36 . . . 4 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ ((ab) ∩ (ab )))) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
429, 41ax-r2 36 . . 3 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (((ab) ∩ (ab )) ∩ a )) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
437, 42ax-r2 36 . 2 ((((a4 b) ∩ a) ∪ ((a4 b)a)) ∪ (((a4 b)a) ∩ a )) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
441, 43ax-r2 36 1 ((a4 b) →4 a) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ a ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   wn 4  wo 6  wa 7  4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lem1n  742
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