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Theorem ud4lem1 581
Description: Lemma for unified disjunction. (Contributed by NM, 25-Nov-1997.)
Assertion
Ref Expression
ud4lem1 ((a4 b) →4 (b4 a)) = (a ∪ (ab ))

Proof of Theorem ud4lem1
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . 2 ((a4 b) →4 (b4 a)) = ((((a4 b) ∩ (b4 a)) ∪ ((a4 b) ∩ (b4 a))) ∪ (((a4 b) ∪ (b4 a)) ∩ (b4 a) ))
2 ud4lem1a 577 . . . . 5 ((a4 b) ∩ (b4 a)) = ((ab) ∪ (ab ))
3 ud4lem1b 578 . . . . 5 ((a4 b) ∩ (b4 a)) = (ab )
42, 32or 72 . . . 4 (((a4 b) ∩ (b4 a)) ∪ ((a4 b) ∩ (b4 a))) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab ))
5 ud4lem1d 580 . . . 4 (((a4 b) ∪ (b4 a)) ∩ (b4 a) ) = (((ab ) ∩ (ab)) ∩ a)
64, 52or 72 . . 3 ((((a4 b) ∩ (b4 a)) ∪ ((a4 b) ∩ (b4 a))) ∪ (((a4 b) ∪ (b4 a)) ∩ (b4 a) )) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (((ab ) ∩ (ab)) ∩ a))
7 ancom 74 . . . . . 6 (((ab ) ∩ (ab)) ∩ a) = (a ∩ ((ab ) ∩ (ab)))
87lor 70 . . . . 5 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (((ab ) ∩ (ab)) ∩ a)) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ ((ab ) ∩ (ab))))
9 coman1 185 . . . . . . . . . . . 12 (ab) C a
109comcom 453 . . . . . . . . . . 11 a C (ab)
1110comcom3 454 . . . . . . . . . 10 a C (ab)
12 coman1 185 . . . . . . . . . . 11 (ab ) C a
1312comcom 453 . . . . . . . . . 10 a C (ab )
1411, 13com2or 483 . . . . . . . . 9 a C ((ab) ∪ (ab ))
15 coman1 185 . . . . . . . . . . 11 (ab ) C a
1615comcom 453 . . . . . . . . . 10 a C (ab )
1716comcom3 454 . . . . . . . . 9 a C (ab )
1814, 17com2or 483 . . . . . . . 8 a C (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab ))
1918comcom2 183 . . . . . . 7 a C (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab ))
2019comcom5 458 . . . . . 6 a C (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab ))
21 comorr 184 . . . . . . . . 9 a C (ab )
22 comorr 184 . . . . . . . . 9 a C (ab)
2321, 22com2an 484 . . . . . . . 8 a C ((ab ) ∩ (ab))
2423comcom2 183 . . . . . . 7 a C ((ab ) ∩ (ab))
2524comcom5 458 . . . . . 6 a C ((ab ) ∩ (ab))
2620, 25fh4 472 . . . . 5 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ ((ab ) ∩ (ab)))) = (((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ a) ∩ ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∩ (ab))))
278, 26ax-r2 36 . . . 4 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (((ab ) ∩ (ab)) ∩ a)) = (((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ a) ∩ ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∩ (ab))))
28 ax-a3 32 . . . . . . . 8 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ a) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ a))
29 or4 84 . . . . . . . . 9 (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ a)) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ a))
30 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (ab) ≤ a
31 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (ab ) ≤ a
3230, 31lel2or 170 . . . . . . . . . . 11 ((ab) ∪ (ab )) ≤ a
33 leor 159 . . . . . . . . . . 11 a ≤ ((ab ) ∪ a)
3432, 33letr 137 . . . . . . . . . 10 ((ab) ∪ (ab )) ≤ ((ab ) ∪ a)
3534df-le2 131 . . . . . . . . 9 (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ a)) = ((ab ) ∪ a)
3629, 35ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ a)) = ((ab ) ∪ a)
3728, 36ax-r2 36 . . . . . . 7 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ a) = ((ab ) ∪ a)
38 ax-a2 31 . . . . . . 7 ((ab ) ∪ a) = (a ∪ (ab ))
3937, 38ax-r2 36 . . . . . 6 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ a) = (a ∪ (ab ))
409comcom2 183 . . . . . . . . . . . . 13 (ab) C a
41 coman2 186 . . . . . . . . . . . . . 14 (ab) C b
4241comcom2 183 . . . . . . . . . . . . 13 (ab) C b
4340, 42com2or 483 . . . . . . . . . . . 12 (ab) C (ab )
4443comcom 453 . . . . . . . . . . 11 (ab ) C (ab)
45 comor1 461 . . . . . . . . . . . 12 (ab ) C a
46 comor2 462 . . . . . . . . . . . 12 (ab ) C b
4745, 46com2an 484 . . . . . . . . . . 11 (ab ) C (ab )
4844, 47com2or 483 . . . . . . . . . 10 (ab ) C ((ab) ∪ (ab ))
4945comcom3 454 . . . . . . . . . . . 12 (ab ) C a
5049comcom5 458 . . . . . . . . . . 11 (ab ) C a
5150, 46com2an 484 . . . . . . . . . 10 (ab ) C (ab )
5248, 51com2or 483 . . . . . . . . 9 (ab ) C (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab ))
5346comcom3 454 . . . . . . . . . . 11 (ab ) C b
5453comcom5 458 . . . . . . . . . 10 (ab ) C b
5545, 54com2or 483 . . . . . . . . 9 (ab ) C (ab)
5652, 55fh4 472 . . . . . . . 8 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∩ (ab))) = (((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∩ ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab)))
57 or32 82 . . . . . . . . . 10 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab ))
58 or32 82 . . . . . . . . . . . . 13 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab ))
59 df-a 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ab) = (ab )
6059con2 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ab) = (ab )
6160ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ab ) = (ab)
6261lor 70 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ab) ∪ (ab )) = ((ab) ∪ (ab) )
63 df-t 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = ((ab) ∪ (ab) )
6463ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ab) ∪ (ab) ) = 1
6562, 64ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ab) ∪ (ab )) = 1
6665ax-r5 38 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = (1 ∪ (ab ))
67 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∪ (ab )) = ((ab ) ∪ 1)
68 or1 104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ab ) ∪ 1) = 1
6967, 68ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∪ (ab )) = 1
7066, 69ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . 13 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = 1
7158, 70ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 (((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = 1
7271ax-r5 38 . . . . . . . . . . 11 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = (1 ∪ (ab ))
73 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∪ (ab )) = ((ab ) ∪ 1)
74 or1 104 . . . . . . . . . . . 12 ((ab ) ∪ 1) = 1
7573, 74ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (1 ∪ (ab )) = 1
7672, 75ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = 1
7757, 76ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab )) = 1
78 ax-a3 32 . . . . . . . . . 10 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab)) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ (ab)))
79 anor1 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (ab ) = (ab)
8079lor 70 . . . . . . . . . . . . 13 ((ab) ∪ (ab )) = ((ab) ∪ (ab) )
81 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . . 13 ((ab ) ∪ (ab)) = ((ab) ∪ (ab ))
82 df-t 41 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((ab) ∪ (ab) )
8380, 81, 823tr1 63 . . . . . . . . . . . 12 ((ab ) ∪ (ab)) = 1
8483lor 70 . . . . . . . . . . 11 (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ (ab))) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ 1)
85 or1 104 . . . . . . . . . . 11 (((ab) ∪ (ab )) ∪ 1) = 1
8684, 85ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (((ab) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∪ (ab))) = 1
8778, 86ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab)) = 1
8877, 872an 79 . . . . . . . 8 (((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∩ ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (ab))) = (1 ∩ 1)
8956, 88ax-r2 36 . . . . . . 7 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∩ (ab))) = (1 ∩ 1)
90 an1 106 . . . . . . 7 (1 ∩ 1) = 1
9189, 90ax-r2 36 . . . . . 6 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∩ (ab))) = 1
9239, 912an 79 . . . . 5 (((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ a) ∩ ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∩ (ab)))) = ((a ∪ (ab )) ∩ 1)
93 an1 106 . . . . 5 ((a ∪ (ab )) ∩ 1) = (a ∪ (ab ))
9492, 93ax-r2 36 . . . 4 (((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ a) ∩ ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ ((ab ) ∩ (ab)))) = (a ∪ (ab ))
9527, 94ax-r2 36 . . 3 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (ab )) ∪ (((ab ) ∩ (ab)) ∩ a)) = (a ∪ (ab ))
966, 95ax-r2 36 . 2 ((((a4 b) ∩ (b4 a)) ∪ ((a4 b) ∩ (b4 a))) ∪ (((a4 b) ∪ (b4 a)) ∩ (b4 a) )) = (a ∪ (ab ))
971, 96ax-r2 36 1 ((a4 b) →4 (b4 a)) = (a ∪ (ab ))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   wn 4  wo 6  wa 7  1wt 8  4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud4  598
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