Theorem cc1 7080

Description: Countable choice in terms of a choice function on a countably infinite set of inhabited sets. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cc1	|- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Distinct variable groups:   w, f, z   x, f, z

Proof of Theorem cc1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> CCHOICE )
2		simprl 520	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> x ~~ om )
3		simprr 521	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. z e. x E. w w e. z )
4		elequ2 1691	. . . . . . . . 9 |- ( z = a -> ( w e. z <-> w e. a ) )
5	4	exbidv 1797	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. a ) )
6	5	cbvralvw 2658	. . . . . . 7 |- ( A. z e. x E. w w e. z <-> A. a e. x E. w w e. a )
7	3, 6	sylib 121	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. a e. x E. w w e. a )
8	1, 2, 7	ccfunen 7079	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) )
9		exsimpr 1597	. . . . 5 |- ( E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
11		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( a = z -> ( f ` a ) = ( f ` z ) )
12		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = z -> a = z )
13	11, 12	eleq12d 2210	. . . . . 6 |- ( a = z -> ( ( f ` a ) e. a <-> ( f ` z ) e. z ) )
14	13	cbvralvw 2658	. . . . 5 |- ( A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> A. z e. x ( f ` z ) e. z )
15	14	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
16	10, 15	sylib 121	. . 3 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
17	16	ex 114	. 2 |- (CCHOICE -> ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )
18	17	alrimiv 1846	1 |- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   omcom 4504   Fn wfn 5118   ` cfv 5123   ~~ cen 6632  CCHOICEwacc 7077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-en 6635  df-cc 7078

This theorem is referenced by: (None)