Theorem cncfcncntop 12749

Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcn.2	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cncfcn.3	|- K = ( J ↾t A )
cncfcn.4	|- L = ( J ↾t B )

Assertion

Ref	Expression
cncfcncntop	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( K Cn L ) )

Proof of Theorem cncfcncntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
2		eqid 2139	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) )
3		eqid 2139	. . 3 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
4		eqid 2139	. . 3 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	cncfmet 12748	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) ) )
6		cncfcn.3	. . . 4 |- K = ( J ↾t A )
7		cnxmet 12700	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
8		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> A C_ CC )
9		cncfcn.2	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
10	1, 9, 3	metrest 12675	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( J ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
11	7, 8, 10	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( J ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
12	6, 11	syl5eq 2184	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
13		cncfcn.4	. . . 4 |- L = ( J ↾t B )
14		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> B C_ CC )
15	2, 9, 4	metrest 12675	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B C_ CC ) -> ( J ↾t B ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) )
16	7, 14, 15	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( J ↾t B ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) )
17	13, 16	syl5eq 2184	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> L = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) )
18	12, 17	oveq12d 5792	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( K Cn L ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( B X. B ) ) ) ) )
19	5, 18	eqtr4d 2175	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = ( K Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   X. cxp 4537   |` cres 4541   o. ccom 4543   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   - cmin 7933   abscabs 10769   ↾_t crest 12120   *Metcxmet 12149   MetOpencmopn 12154   Cn ccn 12354   -cn->ccncf 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-cncf 12727

This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  12750  cncfmpt2fcntop  12754  cnrehmeocntop  12762  cnlimcim  12809  cnlimc  12810  dvcn  12833