Theorem cnconst 12408

Description: A constant function is continuous. (Contributed by FL, 15-Jan-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst	|- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( B e. Y /\ F : X --> { B } ) ) -> F e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst2g 5635	. . . 4 |- ( B e. Y -> ( F : X --> { B } <-> F = ( X X. { B } ) ) )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F : X --> { B } <-> F = ( X X. { B } ) ) )
3		cnconst2 12407	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )
4	3	3expa 1181	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )
5		eleq1 2202	. . . 4 |- ( F = ( X X. { B } ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F = ( X X. { B } ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
7	2, 6	sylbid 149	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F : X --> { B } -> F e. ( J Cn K ) ) )
8	7	impr 376	1 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( B e. Y /\ F : X --> { B } ) ) -> F e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  TopOnctopon 12182   Cn ccn 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12146  df-top 12170  df-topon 12183  df-cn 12362  df-cnp 12363

This theorem is referenced by: (None)