Theorem dedekindeulemlub 12770

Description: Lemma for dedekindeu 12773. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	|- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss	|- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm	|- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um	|- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr	|- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur	|- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc	|- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemlub	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Distinct variable groups:   L, q, r, x, y, z   U, q, r, y, z   ph, q, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   U( x)

Proof of Theorem dedekindeulemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. 2 |- ( ph -> L C_ RR )
2		dedekindeu.lm	. . 3 |- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
3		eleq1w 2200	. . . . 5 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
4	3	cbvrexv 2655	. . . 4 |- ( E. q e. RR q e. L <-> E. x e. RR x e. L )
5		rexex 2479	. . . 4 |- ( E. x e. RR x e. L -> E. x x e. L )
6	4, 5	sylbi 120	. . 3 |- ( E. q e. RR q e. L -> E. x x e. L )
7	2, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. L )
8		dedekindeu.uss	. . 3 |- ( ph -> U C_ RR )
9		dedekindeu.um	. . 3 |- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
10		dedekindeu.lr	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
11		dedekindeu.ur	. . 3 |- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
12		dedekindeu.disj	. . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
13		dedekindeu.loc	. . 3 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
14	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemub 12768	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. L y < x )
15	1, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 13	dedekindeulemloc 12769	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
16		axsuploc 7840	. 2 |- ( ( ( L C_ RR /\ E. x x e. L ) /\ ( E. x e. RR A. y e. L y < x /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
17	1, 7, 14, 15, 16	syl22anc 1217	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   RRcr 7622   < clt 7803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-suploc 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlu  12771