Theorem divap1d 8564

Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )
divap1d.4	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
divap1d	|- ( ph -> ( A / B ) # 1 )

Proof of Theorem divap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divap1d.4	. . 3 |- ( ph -> A # B )
2		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4		divclapd.3	. . . . 5 |- ( ph -> B # 0 )
5	3, 4	recclapd 8544	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / B ) e. CC )
6	3, 4	recap0d 8545	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / B ) # 0 )
7		apmul1 8551	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( ( 1 / B ) e. CC /\ ( 1 / B ) # 0 ) ) -> ( A # B <-> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) ) )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl112anc 1220	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) )
10	2, 3, 4	divrecapd 8556	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
11	10	eqcomd 2145	. 2 |- ( ph -> ( A x. ( 1 / B ) ) = ( A / B ) )
12	3, 4	recidapd 8546	. 2 |- ( ph -> ( B x. ( 1 / B ) ) = 1 )
13	9, 11, 12	3brtr3d 3959	1 |- ( ph -> ( A / B ) # 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7621   0cc0 7623   1c1 7624   x. cmul 7628   # cap 8346   / cdiv 8435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436

This theorem is referenced by: (None)