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Theorem eroprf 6265
Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr.1  |-  J  =  ( A /. R
)
eropr.2  |-  K  =  ( B /. S
)
eropr.3  |-  ( ph  ->  T  e.  Z )
eropr.4  |-  ( ph  ->  R  Er  U )
eropr.5  |-  ( ph  ->  S  Er  V )
eropr.6  |-  ( ph  ->  T  Er  W )
eropr.7  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
eropr.8  |-  ( ph  ->  B  C_  V )
eropr.9  |-  ( ph  ->  C  C_  W )
eropr.10  |-  ( ph  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
eropr.11  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( t  e.  B  /\  u  e.  B
) ) )  -> 
( ( r R s  /\  t S u )  ->  (
r  .+  t ) T ( s  .+  u ) ) )
eropr.12  |-  .+^  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) }
eropr.13  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
eropr.14  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
eropr.15  |-  L  =  ( C /. T
)
Assertion
Ref Expression
eroprf  |-  ( ph  -> 
.+^  : ( J  X.  K ) --> L )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, t, u, x, y, z, A    B, p, q, r, s, t, u, x, y, z    L, p, q, x, y, z    J, p, q, x, y, z    R, p, q, r, s, t, u, x, y, z    K, p, q, x, y, z    S, p, q, r, s, t, u, x, y, z    .+ , p, q, r, s, t, u, x, y, z    ph, p, q, r, s, t, u, x, y, z    T, p, q, r, s, t, u, x, y, z    X, p, q, r, s, t, u, z    Y, p, q, r, s, t, u, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    .+^ ( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    U( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    J( u, t, s, r)    K( u, t, s, r)    L( u, t, s, r)    V( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    W( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    X( x, y)    Y( x, y)    Z( x, y, z, u, t, s, r, q, p)

Proof of Theorem eroprf
StepHypRef Expression
1 eropr.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  Z )
21ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  T  e.  Z )
3 eropr.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
43adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
54fovrnda 5675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  C )
6 ecelqsg 6225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Z  /\  ( p  .+  q )  e.  C )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  ( C /. T
) )
72, 5, 6syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  ( C /. T
) )
8 eropr.15 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( C /. T
)
97, 8syl6eleqr 2173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  L )
10 eleq1a 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( [ ( p  .+  q
) ] T  e.  L  ->  ( z  =  [ ( p  .+  q ) ] T  ->  z  e.  L ) )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( z  =  [
( p  .+  q
) ] T  -> 
z  e.  L ) )
1211adantld 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  z  e.  L
) )
1312rexlimdvva 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  z  e.  L
) )
1413abssdv 3069 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  { z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) }  C_  L
)
15 eropr.1 . . . . . . 7  |-  J  =  ( A /. R
)
16 eropr.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( B /. S
)
17 eropr.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Er  U )
18 eropr.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  Er  V )
19 eropr.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  Er  W )
20 eropr.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
21 eropr.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  V )
22 eropr.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  C_  W )
23 eropr.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( t  e.  B  /\  u  e.  B
) ) )  -> 
( ( r R s  /\  t S u )  ->  (
r  .+  t ) T ( s  .+  u ) ) )
2415, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23eroveu 6263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  E! z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )
25 iotacl 4920 . . . . . 6  |-  ( E! z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )  e.  { z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) } )
2624, 25syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  {
z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) } )
2714, 26sseldd 3001 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  L
)
2827ralrimivva 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  L
)
29 eqid 2082 . . . 4  |-  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) )  =  ( x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) )
3029fmpt2 5858 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )  e.  L  <->  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) ) : ( J  X.  K ) --> L )
3128, 30sylib 120 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) ) : ( J  X.  K
) --> L )
32 eropr.12 . . . 4  |-  .+^  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) }
3315, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23, 32erovlem 6264 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+^  =  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) ) )
3433feq1d 5065 . 2  |-  ( ph  ->  (  .+^  : ( J  X.  K ) --> L  <-> 
( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) ) : ( J  X.  K
) --> L ) )
3531, 34mpbird 165 1  |-  ( ph  -> 
.+^  : ( J  X.  K ) --> L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   E!weu 1942   {cab 2068   A.wral 2349   E.wrex 2350    C_ wss 2974   class class class wbr 3793    X. cxp 4369   iotacio 4895   -->wf 4928  (class class class)co 5543   {coprab 5544    |-> cmpt2 5545    Er wer 6169   [cec 6170   /.cqs 6171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178
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