Theorem hmeocnv 12479

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 12478	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
2		hmeocn 12477	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		eqid 2139	. . . . . 6 |- U. J = U. J
4		eqid 2139	. . . . . 6 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 12376	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6		frel 5277	. . . . 5 |- ( F : U. J --> U. K -> Rel F )
7	2, 5, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> Rel F )
8		dfrel2 4989	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
9	7, 8	sylib 121	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F = F )
10	9, 2	eqeltrd 2216	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F e. ( J Cn K ) )
11		ishmeo 12476	. 2 |- ( `' F e. ( K Homeo J ) <-> ( `' F e. ( K Cn J ) /\ `' `' F e. ( J Cn K ) ) )
12	1, 10, 11	sylanbrc 413	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   U.cuni 3736   `'ccnv 4538   Rel wrel 4544   -->wf 5119  (class class class)co 5774   Cn ccn 12357   Homeochmeo 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12168  df-topon 12181  df-cn 12360  df-hmeo 12473

This theorem is referenced by:  hmeocnvb  12490