Theorem opelstrsl 12060

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
opelstrsl.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrsl.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrsl.el	|- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	|- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2		opelstrsl.s	. . 3 |- ( ph -> S Struct X )
3		structex 11976	. . 3 |- ( S Struct X -> S e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> S e. _V )
5		structfung 11981	. . 3 |- ( S Struct X -> Fun `' `' S )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun `' `' S )
7		opelstrsl.el	. 2 |- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )
8		opelstrsl.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 12006	1 |- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   <.cop 3530   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   Fun wfun 5117   ` cfv 5123   NNcn 8725   Struct cstr 11960   ndxcnx 11961  Slot cslot 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-struct 11966  df-slot 11968

This theorem is referenced by:  opelstrbas  12061  2strop1g  12069  rngplusgg  12081  rngmulrg  12082  srngplusgd  12088  srngmulrd  12089  srnginvld  12090  lmodplusgd  12099  lmodscad  12100  lmodvscad  12101  ipsaddgd  12107  ipsmulrd  12108  ipsscad  12109  ipsvscad  12110  ipsipd  12111  topgrpplusgd  12117  topgrptsetd  12118