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Theorem supelti 6509
Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supelti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
supelti.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
supelti.ss  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
supelti  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, z, x    x, B, y, z    x, C    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)    C( y, z, v, u)

Proof of Theorem supelti
StepHypRef Expression
1 supelti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
2 supelti.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
3 supelti.ex . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
4 ssrexv 3068 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  A  ->  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
52, 3, 4sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
61, 5supclti 6505 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  A )
7 elisset 2622 . . . 4  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  A  ->  E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )
)
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )
)
9 eqcom 2085 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  <->  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
109exbii 1537 . . 3  |-  ( E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )  <->  E. x sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
118, 10sylib 120 . 2  |-  ( ph  ->  E. x sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
12 simpr 108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
131, 5supval2ti 6502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1413eqeq1d 2091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( B ,  A ,  R
)  =  x  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1514biimpa 290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x )
161, 5supeuti 6501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
17 riota1 5537 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1918adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
2015, 19mpbird 165 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
2120simpld 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  x  e.  A )
222, 3, 16jca32 303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  C_  A  /\  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) )
2320simprd 112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
24 reupick 3264 . . . . 5  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  A
) )
2522, 23, 24syl2an2r 560 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  A
) )
2621, 25mpbird 165 . . 3  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  x  e.  C )
2712, 26eqeltrd 2159 . 2  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C
)
2811, 27exlimddv 1821 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   E!wreu 2355    C_ wss 2982   class class class wbr 3805   iota_crio 5518   supcsup 6489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-iota 4917  df-riota 5519  df-sup 6491
This theorem is referenced by:  zsupcl  10550
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