Theorem toponcomb 12205

Description: Biconditional form of toponcom 12204. (Contributed by BJ, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toponcomb	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Proof of Theorem toponcomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponcom 12204	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ J e. (TopOn ` U. K ) ) -> K e. (TopOn ` U. J ) )
2	1	ex 114	. . 3 |- ( K e. Top -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
4		toponcom 12204	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. K ) )
5	4	ex 114	. . 3 |- ( J e. Top -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
7	3, 6	impbid 128	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12174  TopOnctopon 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topon 12188

This theorem is referenced by: (None)