Theorem nfinf 6904

Description: Hypothesis builder for infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfinf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfinf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfinf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfinf	⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6872	. 2 ⊢ inf(𝐴, 𝐵, 𝑅) = sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
2		nfinf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfinf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4		nfinf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
5	4	nfcnv 4718	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
6	2, 3, 5	nfsup 6879	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
7	1, 6	nfcxfr 2278	1 ⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Syntax hints:  Ⅎwnfc 2268  ^◡ccnv 4538  supcsup 6869  infcinf 6870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-sup 6871  df-inf 6872

This theorem is referenced by: (None)