Theorem rexdifsn 3655

Description: Restricted existential quantification over a set with an element removed. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexdifsn	⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝜑))

Proof of Theorem rexdifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 3650	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵))
2	1	anbi1i 453	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵) ∧ 𝜑))
3		anass 398	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitri 183	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5	4	rexbii2 2446	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∃wrex 2417   ∖ cdif 3068  {csn 3527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-sn 3533

This theorem is referenced by: (None)