Theorem 0lt1c 6258

Description: Cardinal one is strictly greater than cardinal zero. (Contributed by Scott Fenton, 1-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1c	|- 0c <c 1c

Proof of Theorem 0lt1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df0c2 6137	. . . 4 |- 0c = Nc (/)
2		0ss 3579	. . . . 5 |- (/) C_ {x}
3		0ex 4110	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4		snex 4111	. . . . . 6 |- {x} e. _V
5	3, 4	nclec 6195	. . . . 5 |- ((/) C_ {x} -> Nc (/) <_c Nc {x})
6	2, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- Nc (/) <_c Nc {x}
7	1, 6	eqbrtri 4658	. . 3 |- 0c <_c Nc {x}
8		vex 2862	. . . . . . 7 |- x e. _V
9	8	snnz 3834	. . . . . 6 |- {x} =/= (/)
10		df-ne 2518	. . . . . 6 |- ({x} =/= (/) <-> -. {x} = (/))
11	9, 10	mpbi 199	. . . . 5 |- -. {x} = (/)
12	4	ncid 6123	. . . . . . 7 |- {x} e. Nc {x}
13		eleq2 2414	. . . . . . 7 |- (0c = Nc {x} -> ({x} e. 0c <-> {x} e. Nc {x}))
14	12, 13	mpbiri 224	. . . . . 6 |- (0c = Nc {x} -> {x} e. 0c)
15		el0c 4421	. . . . . 6 |- ({x} e. 0c <-> {x} = (/))
16	14, 15	sylib 188	. . . . 5 |- (0c = Nc {x} -> {x} = (/))
17	11, 16	mto 167	. . . 4 |- -. 0c = Nc {x}
18		df-ne 2518	. . . 4 |- (0c =/= Nc {x} <-> -. 0c = Nc {x})
19	17, 18	mpbir 200	. . 3 |- 0c =/= Nc {x}
20		brltc 6114	. . 3 |- (0c <c Nc {x} <-> (0c <_c Nc {x} /\ 0c =/= Nc {x}))
21	7, 19, 20	mpbir2an 886	. 2 |- 0c <c Nc {x}
22	8	df1c3 6140	. 2 |- 1c = Nc {x}
23	21, 22	breqtrri 4664	1 |- 0c <c 1c

Syntax hints:  -. wn 3   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2516   C_ wss 3257  (/)c0 3550  {csn 3737  1_cc1c 4134  0_cc0c 4374   class class class wbr 4639   <__c clec 6089   <_c cltc 6090   Nc cnc 6091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-ltc 6100  df-nc 6101

This theorem is referenced by:  nmembers1lem2  6269