Theorem fsn 5432

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. _V
fsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Proof of Theorem fsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelf 5235	. . . . . . 7 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. {A} /\ y e. {B}))
2		elsn 3748	. . . . . . . 8 |- (x e. {A} <-> x = A)
3		elsn 3748	. . . . . . . 8 |- (y e. {B} <-> y = B)
4	2, 3	anbi12i 678	. . . . . . 7 |- ((x e. {A} /\ y e. {B}) <-> (x = A /\ y = B))
5	1, 4	sylib 188	. . . . . 6 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x = A /\ y = B))
6	5	ex 423	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F -> (x = A /\ y = B)))
7		fsn.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
8	7	snid 3760	. . . . . . . 8 |- A e. {A}
9		feu 5242	. . . . . . . 8 |- ((F:{A}-->{B} /\ A e. {A}) -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
10	8, 9	mpan2 652	. . . . . . 7 |- (F:{A}-->{B} -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
11	3	anbi1i 676	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. {B} /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, y>. e. F))
12		opeq2 4579	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
13	12	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = B -> (<.A, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
14	13	pm5.32i 618	. . . . . . . . . . 11 |- ((y = B /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
15		ancom 437	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
16	14, 15	bitr4i 243	. . . . . . . . . 10 |- ((y = B /\ <.A, y>. e. F) <-> (<.A, B>. e. F /\ y = B))
17	11, 16	bitr2i 241	. . . . . . . . 9 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
18	17	eubii 2213	. . . . . . . 8 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
19		fsn.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. _V
20	19	eueq1 3009	. . . . . . . . . 10 |- E!y y = B
21	20	biantru 491	. . . . . . . . 9 |- (<.A, B>. e. F <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
22		euanv 2265	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
23	21, 22	bitr4i 243	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. e. F <-> E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B))
24		df-reu 2621	. . . . . . . 8 |- (E!y e. {B}<.A, y>. e. F <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
25	18, 23, 24	3bitr4i 268	. . . . . . 7 |- (<.A, B>. e. F <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
26	10, 25	sylibr 203	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> <.A, B>. e. F)
27		opeq12 4580	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. = <.A, B>.)
28	27	eleq1d 2419	. . . . . 6 |- ((x = A /\ y = B) -> (<.x, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
29	26, 28	syl5ibrcom 213	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. e. F))
30	6, 29	impbid 183	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> (x = A /\ y = B)))
31		vex 2862	. . . . . . 7 |- x e. _V
32		vex 2862	. . . . . . 7 |- y e. _V
33	31, 32	opex 4588	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. _V
34	33	elsnc 3756	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
35		opth 4602	. . . . 5 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
36	34, 35	bitr2i 241	. . . 4 |- ((x = A /\ y = B) <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
37	30, 36	syl6bb 252	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
38	37	eqrelrdv 4852	. 2 |- (F:{A}-->{B} -> F = {<.A, B>.})
39	7, 19	f1osn 5322	. . . 4 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}
40		f1oeq1 5281	. . . 4 |- (F = {<.A, B>.} -> (F:{A}-1-1-onto->{B} <-> {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}))
41	39, 40	mpbiri 224	. . 3 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-1-1-onto->{B})
42		f1of 5287	. . 3 |- (F:{A}-1-1-onto->{B} -> F:{A}-->{B})
43	41, 42	syl 15	. 2 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-->{B})
44	38, 43	impbii 180	1 |- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  E!weu 2204  E!wreu 2616  _Vcvv 2859  {csn 3737  <.cop 4561  -->wf 4777  -1-1-onto->wf1o 4780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794

This theorem is referenced by:  fsng  5433  fsn2  5434  xpsn  5435  mapsn  6026