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Theorem tfinltfin 4501
 Description: Ordering rule for the finite T operation. Corollary to theorem X.1.33 of [Rosser] p. 529. (Contributed by SF, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tfinltfin Nn Nn fin Tfin Tfin fin

Proof of Theorem tfinltfin
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfinltfinlem1 4500 . 2 Nn Nn fin Tfin Tfin fin
2 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
3 tfinnul 4491 . . . . . . . . 9 Tfin
42, 3syl6eq 2401 . . . . . . . 8 Tfin
5 df-ne 2518 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
65con2bii 322 . . . . . . . 8 Tfin Tfin
74, 6sylib 188 . . . . . . 7 Tfin
87intnanrd 883 . . . . . 6 Tfin Nn Tfin Tfin 1c
9 tfinex 4485 . . . . . . 7 Tfin
10 tfinex 4485 . . . . . . 7 Tfin
11 opkltfing 4449 . . . . . . 7 Tfin Tfin Tfin Tfin fin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
129, 10, 11mp2an 653 . . . . . 6 Tfin Tfin fin Tfin Nn Tfin Tfin 1c
138, 12sylnibr 296 . . . . 5 Tfin Tfin fin
1413pm2.21d 98 . . . 4 Tfin Tfin fin fin
1514a1d 22 . . 3 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
16 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Tfin Nn 1 Tfin
1716simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Tfin Nn
18 ltfinirr 4457 . . . . . . . . . . . . 13 Tfin Nn Tfin Tfin fin
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Nn Tfin Tfin fin
20193adant2 974 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Tfin Tfin fin
21 opkeq2 4060 . . . . . . . . . . . . 13 Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin
2221eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Tfin Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
2322notbid 285 . . . . . . . . . . 11 Tfin Tfin Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
2420, 23syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin Tfin Tfin fin
2524con2d 107 . . . . . . . . 9 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Tfin
2625imp 418 . . . . . . . 8 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Tfin
27 tfineq 4488 . . . . . . . 8 Tfin Tfin
2826, 27nsyl 113 . . . . . . 7 Nn Nn Tfin Tfin fin
29 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Tfin Tfin fin Nn
30 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Tfin Tfin fin
3129, 30, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Nn
32 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Tfin Tfin fin Nn
33 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Tfin Tfin fin
34 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Tfin Nn 1 Tfin
3534simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Tfin Nn
3632, 33, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Nn
3731, 36jca 518 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Nn Tfin Nn
38 simprl 732 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
39 ltfinasym 4460 . . . . . . . . . . 11 Tfin Nn Tfin Nn Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
4037, 38, 39sylc 56 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
4140expr 598 . . . . . . . . 9 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
42 imnan 411 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
4341, 42sylib 188 . . . . . . . 8 Nn Nn Tfin Tfin fin Tfin Tfin fin
44 opkltfing 4449 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn Nn fin Nn 1c
4544ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn fin Nn 1c
46453adant3 975 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn fin Nn 1c
4746simprbda 606 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn fin
4847adantrl 696 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
49 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Tfin Tfin fin fin Nn
50 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Tfin Tfin fin fin Nn
5149, 50jca 518 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Tfin Tfin fin fin Nn Nn
52 simprr 733 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn Tfin Tfin fin fin fin
53 tfinltfinlem1 4500 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn fin Tfin Tfin fin
5451, 52, 53sylc 56 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin fin fin Tfin Tfin fin
5548, 54jca 518 . . . . . . . . 9 Nn Nn Tfin Tfin fin fin Tfin Tfin fin
5655expr 598 . . . . . . . 8 Nn Nn Tfin Tfin fin fin Tfin Tfin fin
5743, 56mtod 168 . . . . . . 7 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
58 ltfintri 4466 . . . . . . . 8 Nn Nn fin fin
5958adantr 451 . . . . . . 7 Nn Nn Tfin Tfin fin fin fin
6028, 57, 59ecase23d 1285 . . . . . 6 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
6160ex 423 . . . . 5 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
62613expa 1151 . . . 4 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
6362expcom 424 . . 3 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
6415, 63pm2.61ine 2592 . 2 Nn Nn Tfin Tfin fin fin
651, 64impbid 183 1 Nn Nn fin Tfin Tfin fin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3o 933   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  cvv 2859  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373   cplc 4375   fin cltfin 4433   Tfin ctfin 4435 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-tfin 4443 This theorem is referenced by:  tfinlefin  4502  sfinltfin  4535
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