New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  dmsnopg GIF version

Theorem dmsnopg 5066
 Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmsnopg (B V → dom {A, B} = {A})

Proof of Theorem dmsnopg
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq2 4579 . . . . 5 (y = BA, y = A, B)
21sneqd 3746 . . . 4 (y = B → {A, y} = {A, B})
32dmeqd 4909 . . 3 (y = B → dom {A, y} = dom {A, B})
43eqeq1d 2361 . 2 (y = B → (dom {A, y} = {A} ↔ dom {A, B} = {A}))
5 df-br 4640 . . . . . . 7 (x{A, y}zx, z {A, y})
6 vex 2862 . . . . . . . . 9 x V
7 vex 2862 . . . . . . . . 9 z V
86, 7opex 4588 . . . . . . . 8 x, z V
98elsnc 3756 . . . . . . 7 (x, z {A, y} ↔ x, z = A, y)
10 opth 4602 . . . . . . . 8 (x, z = A, y ↔ (x = A z = y))
11 ancom 437 . . . . . . . 8 ((x = A z = y) ↔ (z = y x = A))
1210, 11bitri 240 . . . . . . 7 (x, z = A, y ↔ (z = y x = A))
135, 9, 123bitri 262 . . . . . 6 (x{A, y}z ↔ (z = y x = A))
1413exbii 1582 . . . . 5 (z x{A, y}zz(z = y x = A))
15 vex 2862 . . . . . 6 y V
16 biidd 228 . . . . . 6 (z = y → (x = Ax = A))
1715, 16ceqsexv 2894 . . . . 5 (z(z = y x = A) ↔ x = A)
1814, 17bitri 240 . . . 4 (z x{A, y}zx = A)
19 eldm 4898 . . . 4 (x dom {A, y} ↔ z x{A, y}z)
20 elsn 3748 . . . 4 (x {A} ↔ x = A)
2118, 19, 203bitr4i 268 . . 3 (x dom {A, y} ↔ x {A})
2221eqriv 2350 . 2 dom {A, y} = {A}
234, 22vtoclg 2914 1 (B V → dom {A, B} = {A})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {csn 3737  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639  dom cdm 4772 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787 This theorem is referenced by:  dmsnopss  5067  dmpropg  5068  dmsnop  5069  funprg  5149  funprgOLD  5150
 Copyright terms: Public domain W3C validator