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Theorem vfinspeqtncv 4553
 Description: If the universe is finite, then Spfin is equal to its T raisings and the cardinality of the universe. Theorem X.1.61 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinspeqtncv (V FinSpfin = ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
Distinct variable group:   x,a

Proof of Theorem vfinspeqtncv
StepHypRef Expression
1 vfinspss 4551 . 2 (V FinSpfin ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
2 vfinspclt 4552 . . . . . . 7 ((V Fin x Spfin ) → Tfin x Spfin )
3 eleq1 2413 . . . . . . . . 9 (a = Tfin x → (a SpfinTfin x Spfin ))
43biimprd 214 . . . . . . . 8 (a = Tfin x → ( Tfin x Spfina Spfin ))
54com12 27 . . . . . . 7 ( Tfin x Spfin → (a = Tfin xa Spfin ))
62, 5syl 15 . . . . . 6 ((V Fin x Spfin ) → (a = Tfin xa Spfin ))
76rexlimdva 2738 . . . . 5 (V Fin → (x Spfin a = Tfin xa Spfin ))
87abssdv 3340 . . . 4 (V Fin → {a x Spfin a = Tfin x} Spfin )
9 ncvspfin 4538 . . . . 5 Ncfin V Spfin
10 ncfinex 4472 . . . . . 6 Ncfin V V
1110snss 3838 . . . . 5 ( Ncfin V Spfin ↔ { Ncfin V} Spfin )
129, 11mpbi 199 . . . 4 { Ncfin V} Spfin
138, 12jctir 524 . . 3 (V Fin → ({a x Spfin a = Tfin x} Spfin { Ncfin V} Spfin ))
14 unss 3437 . . 3 (({a x Spfin a = Tfin x} Spfin { Ncfin V} Spfin ) ↔ ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Spfin )
1513, 14sylib 188 . 2 (V Fin → ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}) Spfin )
161, 15eqssd 3289 1 (V FinSpfin = ({a x Spfin a = Tfin x} ∪ { Ncfin V}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∪ cun 3207   ⊆ wss 3257  {csn 3737   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4434   Tfin ctfin 4435   Spfin cspfin 4439 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-sfin 4446  df-spfin 4447 This theorem is referenced by:  vfinncsp  4554
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