New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  weds GIF version

Theorem weds 5938
 Description: Any property that holds for some element of a well-ordered set A has an R minimal element satisfying that property. (Contributed by SF, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
weds.1 {x ψ} V
weds.2 (x = y → (ψχ))
weds.3 (x = z → (ψθ))
weds.4 (φR We A)
weds.5 (φx A ψ)
Assertion
Ref Expression
weds (φy A (χ z A (θyRz)))
Distinct variable groups:   x,A,y,z   χ,x   φ,y,z   ψ,y,z   y,R,z   θ,x   x,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(x)   χ(y,z)   θ(y,z)   R(x)

Proof of Theorem weds
StepHypRef Expression
1 weds.1 . . 3 {x ψ} V
2 weds.2 . . 3 (x = y → (ψχ))
3 weds.3 . . 3 (x = z → (ψθ))
4 weds.4 . . . 4 (φR We A)
5 df-we 5906 . . . . . . 7 We = ( OrFr )
65breqi 4645 . . . . . 6 (R We AR( OrFr )A)
7 brin 4693 . . . . . 6 (R( OrFr )A ↔ (R Or A R Fr A))
86, 7bitri 240 . . . . 5 (R We A ↔ (R Or A R Fr A))
98simprbi 450 . . . 4 (R We AR Fr A)
104, 9syl 15 . . 3 (φR Fr A)
11 weds.5 . . 3 (φx A ψ)
121, 2, 3, 10, 11frds 5935 . 2 (φy A (χ z A ((θ zRy) → z = y)))
13 impexp 433 . . . . . . 7 (((θ zRy) → z = y) ↔ (θ → (zRyz = y)))
148simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13 (R We AR Or A)
154, 14syl 15 . . . . . . . . . . . 12 (φR Or A)
16 sopc 5934 . . . . . . . . . . . . 13 (R Or A ↔ (R Po A R Connex A))
1716simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12 (R Or AR Connex A)
1815, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11 (φR Connex A)
1918adantr 451 . . . . . . . . . 10 ((φ (y A z A)) → R Connex A)
20 simprl 732 . . . . . . . . . 10 ((φ (y A z A)) → y A)
21 simprr 733 . . . . . . . . . 10 ((φ (y A z A)) → z A)
2219, 20, 21connexd 5931 . . . . . . . . 9 ((φ (y A z A)) → (yRz zRy))
23 ax1 1431 . . . . . . . . . . 11 (yRz → ((zRyz = y) → yRz))
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10 ((φ (y A z A)) → (yRz → ((zRyz = y) → yRz)))
25 pm2.27 35 . . . . . . . . . . 11 (zRy → ((zRyz = y) → z = y))
26 porta 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (R Po A ↔ (R Ref A R Trans A R Antisym A))
2726simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (R Po AR Ref A)
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((R Po A R Connex A) → R Ref A)
2916, 28sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (R Or AR Ref A)
3015, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (φR Ref A)
3130adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ z A) → R Ref A)
32 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ z A) → z A)
3331, 32refd 5927 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ z A) → zRz)
3433adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12 ((φ (y A z A)) → zRz)
35 breq1 4642 . . . . . . . . . . . 12 (z = y → (zRzyRz))
3634, 35syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11 ((φ (y A z A)) → (z = yyRz))
3725, 36syl9r 67 . . . . . . . . . 10 ((φ (y A z A)) → (zRy → ((zRyz = y) → yRz)))
3824, 37jaod 369 . . . . . . . . 9 ((φ (y A z A)) → ((yRz zRy) → ((zRyz = y) → yRz)))
3922, 38mpd 14 . . . . . . . 8 ((φ (y A z A)) → ((zRyz = y) → yRz))
4039imim2d 48 . . . . . . 7 ((φ (y A z A)) → ((θ → (zRyz = y)) → (θyRz)))
4113, 40syl5bi 208 . . . . . 6 ((φ (y A z A)) → (((θ zRy) → z = y) → (θyRz)))
4241anassrs 629 . . . . 5 (((φ y A) z A) → (((θ zRy) → z = y) → (θyRz)))
4342ralimdva 2692 . . . 4 ((φ y A) → (z A ((θ zRy) → z = y) → z A (θyRz)))
4443anim2d 548 . . 3 ((φ y A) → ((χ z A ((θ zRy) → z = y)) → (χ z A (θyRz))))
4544reximdva 2726 . 2 (φ → (y A (χ z A ((θ zRy) → z = y)) → y A (χ z A (θyRz))))
4612, 45mpd 14 1 (φy A (χ z A (θyRz)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2614  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∩ cin 3208   class class class wbr 4639   Trans ctrans 5888   Ref cref 5889   Antisym cantisym 5890   Po cpartial 5891   Connex cconnex 5892   Or cstrict 5893   Fr cfound 5894   We cwe 5895 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-meredith 1406  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ref 5900  df-partial 5902  df-connex 5903  df-strict 5904  df-found 5905  df-we 5906 This theorem is referenced by:  nchoicelem19  6307
 Copyright terms: Public domain W3C validator