Theorem luk-2 1421

Description: 2 of 3 axioms for propositional calculus due to Lukasiewicz, derived from Meredith's sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
luk-2	|- ((-. ph -> ph) -> ph)

Proof of Theorem luk-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merlem5 1411	. . . . 5 |- ((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph)))
2		merlem4 1410	. . . . 5 |- (((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph))
4		merlem11 1417	. . . 4 |- (((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph)) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph)
6		ax-meredith 1406	. . 3 |- (((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph) -> ((-. ph -> ph) -> ((-. ph -> ph) -> ph)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ((-. ph -> ph) -> ((-. ph -> ph) -> ph))
8		merlem11 1417	. 2 |- (((-. ph -> ph) -> ((-. ph -> ph) -> ph)) -> ((-. ph -> ph) -> ph))
9	7, 8	ax-mp 5	1 |- ((-. ph -> ph) -> ph)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-meredith 1406

This theorem is referenced by:  luklem4  1426