Theorem 0cld 12281

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	|- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 3433	. . 3 |- ( U. J \ (/) ) = U. J
2	1	topopn 12175	. 2 |- ( J e. Top -> ( U. J \ (/) ) e. J )
3		0ss 3401	. . 3 |- (/) C_ U. J
4		eqid 2139	. . . 4 |- U. J = U. J
5	4	iscld2 12273	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ U. J ) -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
6	3, 5	mpan2 421	. 2 |- ( J e. Top -> ( (/) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ (/) ) e. J ) )
7	2, 6	mpbird 166	1 |- ( J e. Top -> (/) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   \ cdif 3068   C_ wss 3071   (/)c0 3363   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164   Clsdccld 12261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-top 12165  df-cld 12264

This theorem is referenced by:  iuncld  12284  cls0  12302