Theorem topopn 12180

Description: The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
topopn	|- ( J e. Top -> X e. J )

Proof of Theorem topopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1open.1	. 2 |- X = U. J
2		ssid 3117	. . 3 |- J C_ J
3		uniopn 12173	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ J C_ J ) -> U. J e. J )
4	2, 3	mpan2 421	. 2 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	1, 4	eqeltrid 2226	1 |- ( J e. Top -> X e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   U.cuni 3736   Topctop 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-top 12170

This theorem is referenced by:  toponmax  12197  cldval  12273  ntrfval  12274  clsfval  12275  iscld  12277  ntrval  12284  clsval  12285  0cld  12286  ntrtop  12302  neifval  12314  neif  12315  neival  12317  isnei  12318  tpnei  12334  cnrest  12409  txcn  12449