ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0er Unicode version

Theorem 0er 6206
Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0er  |-  (/)  Er  (/)

Proof of Theorem 0er
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rel0 4490 . . . 4  |-  Rel  (/)
21a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel  (/) )
3 df-br 3794 . . . . 5  |-  ( x
(/) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
4 noel 3262 . . . . . 6  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
54pm2.21i 608 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  y (/) x )
63, 5sylbi 119 . . . 4  |-  ( x
(/) y  ->  y (/) x )
76adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x (/) y )  ->  y (/) x )
84pm2.21i 608 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  x (/) z )
93, 8sylbi 119 . . . 4  |-  ( x
(/) y  ->  x (/) z )
109ad2antrl 474 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x
(/) y  /\  y (/) z ) )  ->  x (/) z )
11 noel 3262 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
12 noel 3262 . . . . . 6  |-  -.  <. x ,  x >.  e.  (/)
1311, 122false 650 . . . . 5  |-  ( x  e.  (/)  <->  <. x ,  x >.  e.  (/) )
14 df-br 3794 . . . . 5  |-  ( x
(/) x  <->  <. x ,  x >.  e.  (/) )
1513, 14bitr4i 185 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  <->  x (/) x )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  (/)  <->  x (/) x ) )
172, 7, 10, 16iserd 6198 . 2  |-  ( T. 
->  (/)  Er  (/) )
1817trud 1294 1  |-  (/)  Er  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103   T. wtru 1286    e. wcel 1434   (/)c0 3258   <.cop 3409   class class class wbr 3793   Rel wrel 4376    Er wer 6169
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-er 6172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator