Theorem 0fv 5456

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5131	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3367	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 3930	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 660	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1476	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2029	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 651	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5103	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2160	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E!weu 1999   (/)c0 3363   <.cop 3530   class class class wbr 3929   iotacio 5086   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-sn 3533  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  strsl0  12007