Theorem 2strstrg 12064

Description: A constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( E ` ndx ) , .+ >. }
2str.e	|- E = Slot N
2str.l	|- 1 < N
2str.n	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
2strstrg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )

Proof of Theorem 2strstrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str.g	. 2 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( E ` ndx ) , .+ >. }
2		1nn 8736	. . 3 |- 1 e. NN
3		basendx 12018	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		2str.l	. . 3 |- 1 < N
5		2str.n	. . 3 |- N e. NN
6		2str.e	. . . 4 |- E = Slot N
7	6, 5	ndxarg 11987	. . 3 |- ( E ` ndx ) = N
8	2, 3, 4, 5, 7	strle2g 12055	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( E ` ndx ) , .+ >. } Struct <. 1 , N >. )
9	1, 8	eqbrtrid 3963	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W ) -> G Struct <. 1 , N >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cpr 3528   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1c1 7626   < clt 7805   NNcn 8725   Struct cstr 11960   ndxcnx 11961  Slot cslot 11963   Basecbs 11964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-addcom 7725  ax-addass 7727  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-apti 7740  ax-pre-ltadd 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-inn 8726  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-fz 9796  df-struct 11966  df-ndx 11967  df-slot 11968  df-base 11970

This theorem is referenced by:  2strstr1g  12067  grpstrg  12071