Theorem 1strbas 12058

Description: The base set of a constructed one-slot structure. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
1str.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. }

Assertion

Ref	Expression
1strbas	|- ( B e. V -> B = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem 1strbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12015	. 2 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
2		1str.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. }
3		basendxnn 12014	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
4		opexg 4150	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
5	3, 4	mpan 420	. . . 4 |- ( B e. V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
6		snexg 4108	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( B e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. } e. _V )
8	2, 7	eqeltrid 2226	. 2 |- ( B e. V -> G e. _V )
9		funsng 5169	. . . 4 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> Fun { <. ( Base ` ndx ) , B >. } )
10	3, 9	mpan 420	. . 3 |- ( B e. V -> Fun { <. ( Base ` ndx ) , B >. } )
11	2	funeqi 5144	. . 3 |- ( Fun G <-> Fun { <. ( Base ` ndx ) , B >. } )
12	10, 11	sylibr 133	. 2 |- ( B e. V -> Fun G )
13		snidg 3554	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. } )
14	5, 13	syl 14	. . 3 |- ( B e. V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. } )
15	14, 2	eleqtrrdi 2233	. 2 |- ( B e. V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. G )
16	1, 8, 12, 15	strslfvd 12000	1 |- ( B e. V -> B = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {csn 3527   <.cop 3530   Fun wfun 5117   ` cfv 5123   NNcn 8720   ndxcnx 11956   Basecbs 11959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-inn 8721  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965

This theorem is referenced by: (None)