Theorem cncnp2m 12400

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncnp.1	|- X = U. J
cncnp.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cncnp2m	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   y, X   x, Y

Allowed substitution hints:   F( y)   J( y)   K( y)   Y( y)

Proof of Theorem cncnp2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 12370	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cncnp.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	toptopon 12185	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
4	1, 3	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		cntop2 12371	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
6		cncnp.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
7	6	toptopon 12185	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
8	5, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
9	2, 6	cnf 12373	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
10	4, 8, 9	jca31 307	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
11	10	adantl 275	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
12	3	biimpi 119	. . . . 5 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
13	12	3ad2ant1 1002	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14	13	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15	7	biimpi 119	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
16	15	3ad2ant2 1003	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	16	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18		r19.2m 3449	. . . . . . 7 |- ( ( E. y y e. X /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
19	18	ex 114	. . . . . 6 |- ( E. y y e. X -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
20	19	3ad2ant3 1004	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
21		cnpf2 12376	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
22	21	3expia 1183	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
23	22	rexlimdvw 2553	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
24	13, 16, 23	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
25	20, 24	syld 45	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y ) )
26	25	imp 123	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> F : X --> Y )
27	14, 17, 26	jca31 307	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
28		cncnp 12399	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
29	28	baibd 908	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
30	11, 27, 29	pm5.21nd 901	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ E. y y e. X ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   U.cuni 3736   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   CnP ccnp 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12141  df-top 12165  df-topon 12178  df-cn 12357  df-cnp 12358

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