Theorem toptopon 12188

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 12183	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 925	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 131	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12167  TopOnctopon 12180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topon 12181

This theorem is referenced by:  toptopon2  12189  eltpsi  12211  restuni  12344  stoig  12345  iscn2  12372  lmcvg  12389  cnpnei  12391  cnss1  12398  cnss2  12399  cncnpi  12400  cncnp2m  12403  cnnei  12404  cnrest  12407  cnrest2  12408  cnrest2r  12409  cnptoprest  12411  cnptoprest2  12412  lmss  12418  txuni  12435  txcnmpt  12445  txcn  12447  cnmpt11  12455  cnmpt11f  12456  imasnopn  12471  hmeof1o  12481  hmeores  12487  txhmeo  12491  retopon  12698