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Definition df-inp 6788
Description: Define the set of positive reals. A "Dedekind cut" is a partition of the positive rational numbers into two classes such that all the numbers of one class are less than all the numbers of the other.

Here we follow the definition of a Dedekind cut from Definition 11.2.1 of [HoTT], p. (varies) with the one exception that we define it over positive rational numbers rather than all rational numbers.

A Dedekind cut is an ordered pair of a lower set  l and an upper set  u which is inhabited ( E. q  e. 
Q. q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q. r  e.  u), rounded ( A. q  e.  Q. ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q. ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) ) and likewise for  u), disjoint ( A. q  e. 
Q. -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )) and located ( A. q  e. 
Q. A. r  e.  Q. ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u
) )). See HoTT for more discussion of those terms and different ways of defining Dedekind cuts.

(Note: This is a "temporary" definition used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction.) (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2019.)

Assertion
Ref Expression
df-inp  |-  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
Distinct variable group:    u, l, q, r

Detailed syntax breakdown of Definition df-inp
StepHypRef Expression
1 cnp 6613 . 2  class  P.
2 vl . . . . . . . 8  setvar  l
32cv 1284 . . . . . . 7  class  l
4 cnq 6602 . . . . . . 7  class  Q.
53, 4wss 2982 . . . . . 6  wff  l  C_  Q.
6 vu . . . . . . . 8  setvar  u
76cv 1284 . . . . . . 7  class  u
87, 4wss 2982 . . . . . 6  wff  u  C_  Q.
95, 8wa 102 . . . . 5  wff  ( l 
C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )
10 vq . . . . . . . 8  setvar  q
1110, 2wel 1435 . . . . . . 7  wff  q  e.  l
1211, 10, 4wrex 2354 . . . . . 6  wff  E. q  e.  Q.  q  e.  l
13 vr . . . . . . . 8  setvar  r
1413, 6wel 1435 . . . . . . 7  wff  r  e.  u
1514, 13, 4wrex 2354 . . . . . 6  wff  E. r  e.  Q.  r  e.  u
1612, 15wa 102 . . . . 5  wff  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u
)
179, 16wa 102 . . . 4  wff  ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )
1810cv 1284 . . . . . . . . . . 11  class  q
1913cv 1284 . . . . . . . . . . 11  class  r
20 cltq 6607 . . . . . . . . . . 11  class  <Q
2118, 19, 20wbr 3805 . . . . . . . . . 10  wff  q  <Q 
r
2213, 2wel 1435 . . . . . . . . . 10  wff  r  e.  l
2321, 22wa 102 . . . . . . . . 9  wff  ( q 
<Q  r  /\  r  e.  l )
2423, 13, 4wrex 2354 . . . . . . . 8  wff  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  l )
2511, 24wb 103 . . . . . . 7  wff  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  l ) )
2625, 10, 4wral 2353 . . . . . 6  wff  A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )
2710, 6wel 1435 . . . . . . . . . 10  wff  q  e.  u
2821, 27wa 102 . . . . . . . . 9  wff  ( q 
<Q  r  /\  q  e.  u )
2928, 10, 4wrex 2354 . . . . . . . 8  wff  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u )
3014, 29wb 103 . . . . . . 7  wff  ( r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) )
3130, 13, 4wral 2353 . . . . . 6  wff  A. r  e.  Q.  ( r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  q  e.  u
) )
3226, 31wa 102 . . . . 5  wff  ( A. q  e.  Q.  (
q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  l ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )
3311, 27wa 102 . . . . . . 7  wff  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )
3433wn 3 . . . . . 6  wff  -.  (
q  e.  l  /\  q  e.  u )
3534, 10, 4wral 2353 . . . . 5  wff  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )
3611, 14wo 662 . . . . . . . 8  wff  ( q  e.  l  \/  r  e.  u )
3721, 36wi 4 . . . . . . 7  wff  ( q 
<Q  r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) )
3837, 13, 4wral 2353 . . . . . 6  wff  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) )
3938, 10, 4wral 2353 . . . . 5  wff  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) )
4032, 35, 39w3a 920 . . . 4  wff  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) )
4117, 40wa 102 . . 3  wff  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e. 
Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )
4241, 2, 6copab 3858 . 2  class  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
431, 42wceq 1285 1  wff  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
This definition is referenced by:  npsspw  6793  elinp  6796
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