ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  npsspw Unicode version

Theorem npsspw 6627
Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
npsspw  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )

Proof of Theorem npsspw
Dummy variables  u  l  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 489 . . . 4  |-  ( ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )  ->  ( l  C_ 
Q.  /\  u  C_  Q. ) )
2 selpw 3394 . . . . 5  |-  ( l  e.  ~P Q.  <->  l  C_  Q. )
3 selpw 3394 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~P Q.  <->  u  C_  Q. )
42, 3anbi12i 441 . . . 4  |-  ( ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) 
<->  ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )
)
51, 4sylibr 141 . . 3  |-  ( ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )  ->  ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) )
65ssopab2i 4042 . 2  |-  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }  C_  { <. l ,  u >.  |  ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) }
7 df-inp 6622 . 2  |-  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
8 df-xp 4379 . 2  |-  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )  =  { <. l ,  u >.  |  (
l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) }
96, 7, 83sstr4i 3012 1  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324    C_ wss 2945   ~Pcpw 3387   class class class wbr 3792   {copab 3845    X. cxp 4371   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-opab 3847  df-xp 4379  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  preqlu  6628  npex  6629  elinp  6630  prop  6631  elnp1st2nd  6632  cauappcvgprlemladd  6814
  Copyright terms: Public domain W3C validator