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Theorem elinp 6630
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, L    U, q, r

Proof of Theorem elinp
Dummy variables  u  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 6627 . . . . 5  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )
21sseli 2969 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  <. L ,  U >.  e.  ( ~P Q.  X.  ~P Q. ) )
3 opelxp 4402 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e.  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )  <->  ( L  e.  ~P Q.  /\  U  e.  ~P Q. ) )
42, 3sylib 131 . . 3  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( L  e. 
~P Q.  /\  U  e. 
~P Q. ) )
5 elex 2583 . . . 4  |-  ( L  e.  ~P Q.  ->  L  e.  _V )
6 elex 2583 . . . 4  |-  ( U  e.  ~P Q.  ->  U  e.  _V )
75, 6anim12i 325 . . 3  |-  ( ( L  e.  ~P Q.  /\  U  e.  ~P Q. )  ->  ( L  e. 
_V  /\  U  e.  _V ) )
84, 7syl 14 . 2  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( L  e. 
_V  /\  U  e.  _V ) )
9 nqex 6519 . . . . 5  |-  Q.  e.  _V
109ssex 3922 . . . 4  |-  ( L 
C_  Q.  ->  L  e. 
_V )
119ssex 3922 . . . 4  |-  ( U 
C_  Q.  ->  U  e. 
_V )
1210, 11anim12i 325 . . 3  |-  ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_ 
Q. )  ->  ( L  e.  _V  /\  U  e.  _V ) )
1312ad2antrr 465 . 2  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  ( L  e.  _V  /\  U  e. 
_V ) )
14 df-inp 6622 . . . 4  |-  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
1514eleq2i 2120 . . 3  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<-> 
<. L ,  U >.  e. 
{ <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) } )
16 sseq1 2994 . . . . . . 7  |-  ( l  =  L  ->  (
l  C_  Q.  <->  L  C_  Q. ) )
1716anbi1d 446 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  (
( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  <->  ( L  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. ) ) )
18 eleq2 2117 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  (
q  e.  l  <->  q  e.  L ) )
1918rexbidv 2344 . . . . . . 7  |-  ( l  =  L  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  <->  E. q  e.  Q.  q  e.  L
) )
2019anbi1d 446 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  (
( E. q  e. 
Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
)  <->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u )
) )
2117, 20anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( l  =  L  ->  (
( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  <->  ( ( L  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) ) ) )
22 eleq2 2117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  L  ->  (
r  e.  l  <->  r  e.  L ) )
2322anbi2d 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  L  ->  (
( q  <Q  r  /\  r  e.  l
)  <->  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  L ) ) )
2423rexbidv 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  L  ->  ( E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
)  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) ) )
2518, 24bibi12d 228 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  (
( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  <->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) ) ) )
2625ralbidv 2343 . . . . . . 7  |-  ( l  =  L  ->  ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  <->  A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) ) ) )
2726anbi1d 446 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  <-> 
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) ) ) )
2818anbi1d 446 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  (
( q  e.  l  /\  q  e.  u
)  <->  ( q  e.  L  /\  q  e.  u ) ) )
2928notbid 602 . . . . . . 7  |-  ( l  =  L  ->  ( -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u
)  <->  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u ) ) )
3029ralbidv 2343 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  ( A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u
)  <->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u
) ) )
3118orbi1d 715 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  (
( q  e.  l  \/  r  e.  u
)  <->  ( q  e.  L  \/  r  e.  u ) ) )
3231imbi2d 223 . . . . . . 7  |-  ( l  =  L  ->  (
( q  <Q  r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u
) )  <->  ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  u ) ) ) )
33322ralbidv 2365 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  l  \/  r  e.  u ) )  <->  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  L  \/  r  e.  u )
) ) )
3427, 30, 333anbi123d 1218 . . . . 5  |-  ( l  =  L  ->  (
( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) )  <-> 
( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  u ) ) ) ) )
3521, 34anbi12d 450 . . . 4  |-  ( l  =  L  ->  (
( ( ( l 
C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )  <->  ( ( ( L  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  u ) ) ) ) ) )
36 sseq1 2994 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
u  C_  Q.  <->  U  C_  Q. ) )
3736anbi2d 445 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( L  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  <->  ( L  C_  Q.  /\  U  C_ 
Q. ) ) )
38 eleq2 2117 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
r  e.  u  <->  r  e.  U ) )
3938rexbidv 2344 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( E. r  e.  Q.  r  e.  u  <->  E. r  e.  Q.  r  e.  U
) )
4039anbi2d 445 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( E. q  e. 
Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u )  <->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) ) )
4137, 40anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( L  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u )
)  <->  ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) ) ) )
42 eleq2 2117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  (
q  e.  u  <->  q  e.  U ) )
4342anbi2d 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( q  <Q  r  /\  q  e.  u
)  <->  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )
4443rexbidv 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  ( E. q  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  q  e.  u
)  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  q  e.  U
) ) )
4538, 44bibi12d 228 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  q  e.  u ) )  <->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  q  e.  U
) ) ) )
4645ralbidv 2343 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. r  e.  Q.  ( r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  q  e.  u ) )  <->  A. r  e.  Q.  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  q  e.  U
) ) ) )
4746anbi2d 445 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  <-> 
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) ) ) )
4842anbi2d 445 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( q  e.  L  /\  q  e.  u
)  <->  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) ) )
4948notbid 602 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u
)  <->  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) ) )
5049ralbidv 2343 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u
)  <->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
) ) )
5138orbi2d 714 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( q  e.  L  \/  r  e.  u
)  <->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
5251imbi2d 223 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  u
) )  <->  ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
53522ralbidv 2365 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  L  \/  r  e.  u )
)  <->  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  L  \/  r  e.  U )
) ) )
5447, 50, 533anbi123d 1218 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  u ) ) )  <-> 
( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
5541, 54anbi12d 450 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( ( L 
C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  u ) ) ) )  <->  ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) ) )
5635, 55opelopabg 4033 . . 3  |-  ( ( L  e.  _V  /\  U  e.  _V )  ->  ( <. L ,  U >.  e.  { <. l ,  u >.  |  (
( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }  <->  ( (
( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e. 
Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) ) )
5715, 56syl5bb 185 . 2  |-  ( ( L  e.  _V  /\  U  e.  _V )  ->  ( <. L ,  U >.  e.  P.  <->  ( (
( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e. 
Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) ) )
588, 13, 57pm5.21nii 630 1  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    C_ wss 2945   ~Pcpw 3387   <.cop 3406   class class class wbr 3792   {copab 3845    X. cxp 4371   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-qs 6143  df-ni 6460  df-nqqs 6504  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6632  prml  6633  prmu  6634  prssnql  6635  prssnqu  6636  prcdnql  6640  prcunqu  6641  prltlu  6643  prnmaxl  6644  prnminu  6645  prloc  6647  prdisj  6648  nqprxx  6702
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