ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m Unicode version

Theorem nq02m 6769
Description: Multiply a non-negative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m  |-  ( A  e. Q0  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6746 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  E. z E. w
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
2 2onn 6181 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
3 1pi 6619 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
4 mulnnnq0 6754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( 2o  .o  z ) ,  ( 1o  .o  w
) >. ] ~Q0  )
52, 3, 4mpanl12 427 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( 2o  .o  z ) ,  ( 1o  .o  w ) >. ] ~Q0  )
6 nn2m 6186 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( 2o  .o  z )  =  ( z  +o  z
) )
76adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( 2o  .o  z
)  =  ( z  +o  z ) )
8 pinn 6613 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
9 1onn 6180 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
10 nnmcom 6153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( 1o  .o  w
)  =  ( w  .o  1o ) )
119, 10mpan 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  ( 1o  .o  w )  =  ( w  .o  1o ) )
12 nnm1 6184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  .o  1o )  =  w )
1311, 12eqtrd 2115 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  ( 1o  .o  w )  =  w )
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  N.  ->  ( 1o  .o  w )  =  w )
1514adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( 1o  .o  w
)  =  w )
167, 15opeq12d 3598 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  -> 
<. ( 2o  .o  z
) ,  ( 1o 
.o  w ) >.  =  <. ( z  +o  z ) ,  w >. )
1716eceq1d 6229 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. ( 2o  .o  z ) ,  ( 1o  .o  w )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( z  +o  z ) ,  w >. ] ~Q0  )
18 nnanq0 6762 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. ( z  +o  z ) ,  w >. ] ~Q0  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
19183anidm12 1227 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. ( z  +o  z ) ,  w >. ] ~Q0  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
205, 17, 193eqtrd 2119 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
2120adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
22 oveq2 5571 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
23 id 19 . . . . . . 7  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
2423, 23oveq12d 5581 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  ( A +Q0  A )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
2522, 24eqeq12d 2097 . . . . 5  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  ( ( [
<. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
A )  =  ( A +Q0  A )  <->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) ) )
2625adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A )  <->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) ) )
2721, 26mpbird 165 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )
2827exlimivv 1819 . 2  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )
291, 28syl 14 1  |-  ( A  e. Q0  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   <.cop 3419   omcom 4359  (class class class)co 5563   1oc1o 6078   2oc2o 6079    +o coa 6082    .o comu 6083   [cec 6191   N.cnpi 6576   ~Q0 ceq0 6590  Q0cnq0 6591   +Q0 cplq0 6593   ·Q0 cmq0 6594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-1o 6085  df-2o 6086  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-mi 6610  df-enq0 6728  df-nq0 6729  df-plq0 6731  df-mq0 6732
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6806
  Copyright terms: Public domain W3C validator