ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmq0qs Unicode version

Theorem dfmq0qs 6585
Description: Multiplication on non-negative fractions. This definition is similar to df-mq0 6584 but expands Q0 (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmq0qs  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, f

Proof of Theorem dfmq0qs
StepHypRef Expression
1 df-mq0 6584 . 2  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
2 df-nq0 6581 . . . . . 6  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
32eleq2i 2120 . . . . 5  |-  ( x  e. Q0  <->  x  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
42eleq2i 2120 . . . . 5  |-  ( y  e. Q0  <->  y  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
53, 4anbi12i 441 . . . 4  |-  ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  <->  ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
65anbi1i 439 . . 3  |-  ( ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) )  <->  ( ( x  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) )
76oprabbii 5588 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
81, 7eqtri 2076 1  |- ·Q0 
=  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( w  .o  u
) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   <.cop 3406   omcom 4341    X. cxp 4371  (class class class)co 5540   {coprab 5541    .o comu 6030   [cec 6135   /.cqs 6136   N.cnpi 6428   ~Q0 ceq0 6442  Q0cnq0 6443   ·Q0 cmq0 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-11 1413  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-oprab 5544  df-nq0 6581  df-mq0 6584
This theorem is referenced by:  mulnnnq0  6606
  Copyright terms: Public domain W3C validator