Theorem elbl2 12562

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elbl2	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( P D A ) < R ) )

Proof of Theorem elbl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbl 12560	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
2	1	3expa 1181	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
3	2	an32s 557	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
4	3	adantrr 470	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
5		simprr 521	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> A e. X )
6	5	biantrurd 303	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( P D A ) < R <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
7	4, 6	bitr4d 190	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( P D A ) < R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RR*cxr 7799   < clt 7800   *Metcxmet 12149   ballcbl 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-bl 12159

This theorem is referenced by:  elbl3  12564  blcom  12566  blsscls2  12662  metcnp  12681  limcimolemlt  12802