Theorem eltpsi 12218

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltpsi.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
eltpsi.u	|- A = U. J
eltpsi.j	|- J e. Top

Assertion

Ref	Expression
eltpsi	|- K e. TopSp

Proof of Theorem eltpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpsi.j	. . 3 |- J e. Top
2		eltpsi.u	. . . 4 |- A = U. J
3	2	toptopon 12195	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` A ) )
4	1, 3	mpbi 144	. 2 |- J e. (TopOn ` A )
5		eltpsi.k	. . 3 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
6	5	eltpsg 12217	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )
7	4, 6	ax-mp 5	1 |- K e. TopSp

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cpr 3528   <.cop 3530   U.cuni 3736   ` cfv 5123   ndxcnx 11966   Basecbs 11969  TopSetcts 12037   Topctop 12174  TopOnctopon 12187   TopSpctps 12207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-ndx 11972  df-slot 11973  df-base 11975  df-tset 12050  df-rest 12132  df-topn 12133  df-top 12175  df-topon 12188  df-topsp 12208

This theorem is referenced by:  distps  12270  retps  12706