Theorem enpr2d 6711

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	|- ( ph -> A e. C )
enpr2d.2	|- ( ph -> B e. D )
enpr2d.3	|- ( ph -> -. A = B )

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	|- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. C )
2		ensn1g 6691	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } ~~ 1o )
4		enpr2d.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
5		1on 6320	. . . . 5 |- 1o e. On
6		en2sn 6707	. . . . 5 |- ( ( B e. D /\ 1o e. On ) -> { B } ~~ { 1o } )
7	4, 5, 6	sylancl 409	. . . 4 |- ( ph -> { B } ~~ { 1o } )
8		enpr2d.3	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A = B )
9	8	neqned 2315	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= B )
10		disjsn2 3586	. . . . 5 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
12	5	onirri 4458	. . . . . 6 |- -. 1o e. 1o
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -. 1o e. 1o )
14		disjsn 3585	. . . . 5 |- ( ( 1o i^i { 1o } ) = (/) <-> -. 1o e. 1o )
15	13, 14	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
16		unen 6710	. . . 4 |- ( ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ { 1o } ) /\ ( ( { A } i^i { B } ) = (/) /\ ( 1o i^i { 1o } ) = (/) ) ) -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 1217	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
18		df-pr 3534	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
19		df-suc 4293	. . 3 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
20	17, 18, 19	3brtr4g 3962	. 2 |- ( ph -> { A , B } ~~ suc 1o )
21		df-2o 6314	. 2 |- 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 3970	1 |- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   u. cun 3069   i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   class class class wbr 3929   Oncon0 4285   suc csuc 4287   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635

This theorem is referenced by: (None)