Theorem exbtwnzlemshrink 10026

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10027. Shrinking the range around A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink.j	|- ( ph -> J e. NN )
exbtwnzlemshrink.a	|- ( ph -> A e. RR )
exbtwnzlemshrink.tri	|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemshrink	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A, m   m, J   ph, m, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   J( x, n)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exbtwnzlemshrink.j	. . 3 |- ( ph -> J e. NN )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> J e. NN )
3		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( w = 1 -> ( m + w ) = ( m + 1 ) )
4	3	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + 1 ) ) )
5	4	anbi2d 459	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
6	5	rexbidv 2438	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) )
7	6	anbi2d 459	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
9		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( m + w ) = ( m + k ) )
10	9	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + k ) ) )
11	10	anbi2d 459	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
12	11	rexbidv 2438	. . . . 5 |- ( w = k -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
13	12	anbi2d 459	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
14	13	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
15		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( m + w ) = ( m + ( k + 1 ) ) )
16	15	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + ( k + 1 ) ) ) )
17	16	anbi2d 459	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 2438	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) )
19	18	anbi2d 459	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20	19	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
21		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( w = J -> ( m + w ) = ( m + J ) )
22	21	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( w = J -> ( A < ( m + w ) <-> A < ( m + J ) ) )
23	22	anbi2d 459	. . . . . 6 |- ( w = J -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
24	23	rexbidv 2438	. . . . 5 |- ( w = J -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) <-> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) )
25	24	anbi2d 459	. . . 4 |- ( w = J -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) <-> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) ) )
26	25	imbi1d 230	. . 3 |- ( w = J -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + w ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
27		breq1 3932	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( m <_ A <-> x <_ A ) )
28		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( m + 1 ) = ( x + 1 ) )
29	28	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( A < ( m + 1 ) <-> A < ( x + 1 ) ) )
30	27, 29	anbi12d 464	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
31	30	cbvrexv 2655	. . . . 5 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) <-> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
32	31	biimpi 119	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33	32	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
34		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> k e. NN )
35		exbtwnzlemshrink.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
36	35	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> A e. RR )
37		exbtwnzlemshrink.tri	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
38	37	adantll 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ A \/ A < n ) )
39	34, 36, 38	exbtwnzlemstep 10025	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. NN /\ ph ) /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) )
40	39	ex 114	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ph ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) )
41	40	imdistanda 444	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) ) )
42	41	imim1d 75	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + k ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( k + 1 ) ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) ) )
43	8, 14, 20, 26, 33, 42	nnind 8736	. 2 |- ( J e. NN -> ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
44	2, 43	mpcom 36	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + J ) ) ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10027