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Theorem exbtwnzlemshrink 9405
Description: Lemma for exbtwnzlemex 9406. Shrinking the range around  A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemshrink.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
exbtwnzlemshrink.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
exbtwnzlemshrink.tri  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemshrink  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n   
x, A, m    m, J    ph, m, n
Allowed substitution hints:    ph( x)    J( x, n)

Proof of Theorem exbtwnzlemshrink
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnzlemshrink.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
21adantr 270 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  J  e.  NN )
3 oveq2 5572 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  1  ->  (
m  +  w )  =  ( m  + 
1 ) )
43breq2d 3817 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  1 ) ) )
54anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  1 ) ) ) )
65rexbidv 2374 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  1 ) ) ) )
76anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
87imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
9 oveq2 5572 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
m  +  w )  =  ( m  +  k ) )
109breq2d 3817 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  k ) ) )
1110anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) ) )
1211rexbidv 2374 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  k ) ) ) )
1312anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) ) ) )
1413imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
15 oveq2 5572 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
m  +  w )  =  ( m  +  ( k  +  1 ) ) )
1615breq2d 3817 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )
1716anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817rexbidv 2374 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1918anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
2019imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
21 oveq2 5572 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  J  ->  (
m  +  w )  =  ( m  +  J ) )
2221breq2d 3817 . . . . . . 7  |-  ( w  =  J  ->  ( A  <  ( m  +  w )  <->  A  <  ( m  +  J ) ) )
2322anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  J  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <-> 
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  J ) ) ) )
2423rexbidv 2374 . . . . 5  |-  ( w  =  J  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) ) )
2524anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  J  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  w ) ) )  <->  ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  J ) ) ) ) )
2625imbi1d 229 . . 3  |-  ( w  =  J  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  w ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
27 breq1 3808 . . . . . . 7  |-  ( m  =  x  ->  (
m  <_  A  <->  x  <_  A ) )
28 oveq1 5571 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  x  ->  (
m  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
2928breq2d 3817 . . . . . . 7  |-  ( m  =  x  ->  ( A  <  ( m  + 
1 )  <->  A  <  ( x  +  1 ) ) )
3027, 29anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( m  =  x  ->  (
( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  1 ) )  <-> 
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) ) )
3130cbvrexv 2583 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
3231biimpi 118 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  + 
1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
3332adantl 271 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
34 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ph )  ->  k  e.  NN )
35 exbtwnzlemshrink.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3635adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ph )  ->  A  e.  RR )
37 exbtwnzlemshrink.tri . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  A  \/  A  <  n ) )
3837adantll 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
n  <_  A  \/  A  <  n ) )
3934, 36, 38exbtwnzlemstep 9404 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
ph )  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) )
4039ex 113 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ph )  ->  ( E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) ) )
4140imdistanda 437 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  k ) ) ) ) )
4241imim1d 74 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  E. m  e.  ZZ  (
m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  k ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  ( m  +  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) ) )
438, 14, 20, 26, 33, 42nnind 8192 . 2  |-  ( J  e.  NN  ->  (
( ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) ) )
442, 43mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( m  <_  A  /\  A  <  (
m  +  J ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564   RRcr 7112   1c1 7114    + caddc 7116    < clt 7285    <_ cle 7286   NNcn 8176   ZZcz 8502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  9406
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