Theorem fz1f1o 11151

Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1f1o	|- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )

Distinct variable group:   A, f

Proof of Theorem fz1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10534	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2		elnn0 8986	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
3	1, 2	sylib 121	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
4	3	orcomd 718	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 \/ (♯ ` A ) e. NN ) )
5		fihasheq0 10547	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
6		isfinite4im 10546	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A )
7		bren 6641	. . . . 5 |- ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A <-> E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
8	6, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
9	8	biantrud 302	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10	5, 9	orbi12d 782	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( (♯ ` A ) = 0 \/ (♯ ` A ) e. NN ) <-> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) ) )
11	4, 10	mpbid 146	1 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ~~ cen 6632   Fincfn 6634   0cc0 7627   1c1 7628   NNcn 8727   NN0cn0 8984   ...cfz 9797  ♯chash 10528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-ihash 10529

This theorem is referenced by:  isumz  11165  fsumf1o  11166  fisumss  11168  fsumcl2lem  11174  fsumadd  11182  fsummulc2  11224