Theorem hmeoimaf1o 12486

Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeoimaf1o.1	|- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )

Assertion

Ref	Expression
hmeoimaf1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem hmeoimaf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeoimaf1o.1	. 2 |- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )
2		hmeoima 12482	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
3		hmeocn 12477	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
4		cnima 12392	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
5	3, 4	sylan 281	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6		eqid 2139	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
7		eqid 2139	. . . . . . 7 |- U. K = U. K
8	6, 7	hmeof1o 12481	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9	8	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
10		f1of1 5366	. . . . 5 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -1-1-> U. K )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-> U. K )
12		elssuni 3764	. . . . 5 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
13	12	ad2antrl 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ U. J )
14		cnvimass 4902	. . . . 5 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		f1dm 5333	. . . . . 6 |- ( F : U. J -1-1-> U. K -> dom F = U. J )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> dom F = U. J )
17	14, 16	sseqtrid 3147	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
18		f1imaeq 5676	. . . 4 |- ( ( F : U. J -1-1-> U. K /\ ( x C_ U. J /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
19	11, 13, 17, 18	syl12anc 1214	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
20		f1ofo 5374	. . . . . . 7 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -onto-> U. K )
21	9, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -onto-> U. K )
22		elssuni 3764	. . . . . . 7 |- ( y e. K -> y C_ U. K )
23	22	ad2antll 482	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ U. K )
24		foimacnv 5385	. . . . . 6 |- ( ( F : U. J -onto-> U. K /\ y C_ U. K ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
25	21, 23, 24	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
26	25	eqeq2d 2151	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> ( F " x ) = y ) )
27		eqcom 2141	. . . 4 |- ( ( F " x ) = y <-> y = ( F " x ) )
28	26, 27	syl6bb 195	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> y = ( F " x ) ) )
29	19, 28	bitr3d 189	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x = ( `' F " y ) <-> y = ( F " x ) ) )
30	1, 2, 5, 29	f1o2d 5975	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   U.cuni 3736   |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   -1-1->wf1 5120   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122  (class class class)co 5774   Cn ccn 12357   Homeochmeo 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12168  df-topon 12181  df-cn 12360  df-hmeo 12473

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