ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunopab Unicode version

Theorem iunopab 4046
Description: Move indexed union inside an ordered-pair abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iunopab  |-  U_ z  e.  A  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ph }
Distinct variable groups:    x, A    y, A    y, z    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    A( z)

Proof of Theorem iunopab
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elopab 4023 . . . . 5  |-  ( w  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
21rexbii 2348 . . . 4  |-  ( E. z  e.  A  w  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  E. z  e.  A  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3 rexcom4 2594 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  A  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  E. x E. z  e.  A  E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 rexcom4 2594 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. y E. z  e.  A  ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
5 r19.42v 2484 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  A  ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) 
<->  ( w  =  <. x ,  y >.  /\  E. z  e.  A  ph )
)
65exbii 1512 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. z  e.  A  ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  E. z  e.  A  ph )
)
74, 6bitri 177 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  E. z  e.  A  ph )
)
87exbii 1512 . . . . 5  |-  ( E. x E. z  e.  A  E. y ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) 
<->  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  E. z  e.  A  ph )
)
93, 8bitri 177 . . . 4  |-  ( E. z  e.  A  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  E. z  e.  A  ph ) )
102, 9bitri 177 . . 3  |-  ( E. z  e.  A  w  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  E. z  e.  A  ph )
)
1110abbii 2169 . 2  |-  { w  |  E. z  e.  A  w  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } }  =  {
w  |  E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  E. z  e.  A  ph ) }
12 df-iun 3687 . 2  |-  U_ z  e.  A  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  { w  |  E. z  e.  A  w  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } }
13 df-opab 3847 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ph }  =  { w  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  E. z  e.  A  ph ) }
1411, 12, 133eqtr4i 2086 1  |-  U_ z  e.  A  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   E.wrex 2324   <.cop 3406   U_ciun 3685   {copab 3845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-iun 3687  df-opab 3847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator