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Theorem iunxiun 3761
Description: Separate an indexed union in the index of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunxiun  |-  U_ x  e.  U_  y  e.  A  B C  =  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C
Distinct variable groups:    x, y    x, A    y, C
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x)

Proof of Theorem iunxiun
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 3686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  B  <->  E. y  e.  A  x  e.  B )
21anbi1i 439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C )  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
3 r19.41v 2481 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
42, 3bitr4i 180 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C )  <->  E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
54exbii 1510 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C
)  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C ) )
6 rexcom4 2592 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
75, 6bitr4i 180 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C
)  <->  E. y  e.  A  E. x ( x  e.  B  /\  z  e.  C ) )
8 df-rex 2327 . . . 4  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  B z  e.  C  <->  E. x ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C ) )
9 eliun 3686 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  z  e.  C )
10 df-rex 2327 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  B  z  e.  C  <->  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
119, 10bitri 177 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
1211rexbii 2346 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. y  e.  A  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
137, 8, 123bitr4i 205 . . 3  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  B z  e.  C  <->  E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C )
14 eliun 3686 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e. 
U_  y  e.  A  B C  <->  E. x  e.  U_  y  e.  A  B
z  e.  C )
15 eliun 3686 . . 3  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C  <->  E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C
)
1613, 14, 153bitr4i 205 . 2  |-  ( z  e.  U_ x  e. 
U_  y  e.  A  B C  <->  z  e.  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C )
1716eqriv 2051 1  |-  U_ x  e.  U_  y  e.  A  B C  =  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1257   E.wex 1395    e. wcel 1407   E.wrex 2322   U_ciun 3682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-v 2574  df-iun 3684
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