Theorem iunxiun 3765

Description: Separate an indexed union in the index of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunxiun	|- U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C

Distinct variable groups:   x, y   x, A   y, C

Allowed substitution hints:   A( y)   B( x, y)   C( x)

Proof of Theorem iunxiun

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3690	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A B <-> E. y e. A x e. B )
2	1	anbi1i 446	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
3		r19.41v 2511	. . . . . . 7 |- ( E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
4	2, 3	bitr4i 185	. . . . . 6 |- ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
5	4	exbii 1537	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
6		rexcom4 2623	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
7	5, 6	bitr4i 185	. . . 4 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
8		df-rex 2355	. . . 4 |- ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) )
9		eliun 3690	. . . . . 6 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
10		df-rex 2355	. . . . . 6 |- ( E. x e. B z e. C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
11	9, 10	bitri 182	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. B C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
12	11	rexbii 2374	. . . 4 |- ( E. y e. A z e. U_ x e. B C <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
13	7, 8, 12	3bitr4i 210	. . 3 |- ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
14		eliun 3690	. . 3 |- ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> E. x e. U_ y e. A B z e. C )
15		eliun 3690	. . 3 |- ( z e. U_ y e. A U_ x e. B C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
16	13, 14, 15	3bitr4i 210	. 2 |- ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> z e. U_ y e. A U_ x e. B C )
17	16	eqriv 2079	1 |- U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   E.wrex 2350   U_ciun 3686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-iun 3688

This theorem is referenced by: (None)