ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunxiun Unicode version

Theorem iunxiun 3765
Description: Separate an indexed union in the index of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunxiun  |-  U_ x  e.  U_  y  e.  A  B C  =  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C
Distinct variable groups:    x, y    x, A    y, C
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x)

Proof of Theorem iunxiun
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 3690 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  B  <->  E. y  e.  A  x  e.  B )
21anbi1i 446 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C )  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
3 r19.41v 2511 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
42, 3bitr4i 185 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C )  <->  E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
54exbii 1537 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C
)  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C ) )
6 rexcom4 2623 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
75, 6bitr4i 185 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C
)  <->  E. y  e.  A  E. x ( x  e.  B  /\  z  e.  C ) )
8 df-rex 2355 . . . 4  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  B z  e.  C  <->  E. x ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C ) )
9 eliun 3690 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  z  e.  C )
10 df-rex 2355 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  B  z  e.  C  <->  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
119, 10bitri 182 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
1211rexbii 2374 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. y  e.  A  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
137, 8, 123bitr4i 210 . . 3  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  B z  e.  C  <->  E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C )
14 eliun 3690 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e. 
U_  y  e.  A  B C  <->  E. x  e.  U_  y  e.  A  B
z  e.  C )
15 eliun 3690 . . 3  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C  <->  E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C
)
1613, 14, 153bitr4i 210 . 2  |-  ( z  e.  U_ x  e. 
U_  y  e.  A  B C  <->  z  e.  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C )
1716eqriv 2079 1  |-  U_ x  e.  U_  y  e.  A  B C  =  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   E.wrex 2350   U_ciun 3686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-iun 3688
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator