ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eliun Unicode version

Theorem eliun 3787
Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
eliun  |-  ( A  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  A  e.  C )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem eliun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2671 . 2  |-  ( A  e.  U_ x  e.  B  C  ->  A  e.  _V )
2 elex 2671 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  A  e.  _V )
32rexlimivw 2522 . 2  |-  ( E. x  e.  B  A  e.  C  ->  A  e. 
_V )
4 eleq1 2180 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  C  <->  A  e.  C ) )
54rexbidv 2415 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  C  <->  E. x  e.  B  A  e.  C ) )
6 df-iun 3785 . . 3  |-  U_ x  e.  B  C  =  { y  |  E. x  e.  B  y  e.  C }
75, 6elab2g 2804 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  A  e.  C ) )
81, 3, 7pm5.21nii 678 1  |-  ( A  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  A  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   _Vcvv 2660   U_ciun 3783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-iun 3785
This theorem is referenced by:  iuncom  3789  iuncom4  3790  iunconstm  3791  iuniin  3793  iunss1  3794  ss2iun  3798  dfiun2g  3815  ssiun  3825  ssiun2  3826  iunab  3829  iun0  3839  0iun  3840  iunn0m  3843  iunin2  3846  iundif2ss  3848  iindif2m  3850  iunxsng  3858  iunxsngf  3860  iunun  3861  iunxun  3862  iunxiun  3864  iunpwss  3874  disjiun  3894  triun  4009  iunpw  4371  xpiundi  4567  xpiundir  4568  iunxpf  4657  cnvuni  4695  dmiun  4718  dmuni  4719  rniun  4919  dfco2  5008  dfco2a  5009  coiun  5018  fun11iun  5356  imaiun  5629  eluniimadm  5634  opabex3d  5987  opabex3  5988  smoiun  6166  tfrlemi14d  6198  tfr1onlemres  6214  tfrcllemres  6227  fsum2dlemstep  11158  fisumcom2  11162  fsumiun  11201  ennnfonelemrn  11843  ennnfonelemdm  11844  ctiunctlemf  11862  ctiunctlemfo  11863
  Copyright terms: Public domain W3C validator