Theorem limccl 12800

Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limccl	|- ( F lim CC B ) C_ CC

Proof of Theorem limccl

Dummy variables d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. ( F lim CC B ) )
2		df-limced 12797	. . . . . 6 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
3	2	elmpocl1 5969	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> F e. ( CC ^pm CC ) )
4		limcrcl 12799	. . . . . 6 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
5	4	simp3d 995	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
6		cnex 7747	. . . . . . 7 |- CC e. _V
7	6	rabex 4072	. . . . . 6 |- { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V )
9		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> f = F )
10	9	dmeqd 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> dom f = dom F )
11	9, 10	feq12d 5262	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f : dom f --> CC <-> F : dom F --> CC ) )
12	10	sseq1d 3126	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( dom f C_ CC <-> dom F C_ CC ) )
13	11, 12	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) ) )
14		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> x = B )
15	14	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( x e. CC <-> B e. CC ) )
16	14	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z # x <-> z # B ) )
17	14	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z - x ) = ( z - B ) )
18	17	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( z - x ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
19	18	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( z - x ) ) < d <-> ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
20	16, 19	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) <-> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) ) )
21	9	fveq1d 5423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
22	21	fvoveq1d 5796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) )
23	22	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) )
24	20, 23	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
25	10, 24	raleqbidv 2638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
26	25	rexbidv 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
27	26	ralbidv 2437	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
28	15, 27	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) <-> ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) )
29	13, 28	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) ) )
30	29	rabbidv 2675	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
31	30, 2	ovmpoga 5900	. . . . 5 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC /\ { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
32	3, 5, 8, 31	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
33	1, 32	eleqtrd 2218	. . 3 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
34		elrabi 2837	. . 3 |- ( w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } -> w e. CC )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. CC )
36	35	ssriv 3101	1 |- ( F lim CC B ) C_ CC

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^pm cpm 6543   CCcc 7621   < clt 7803   - cmin 7936   # cap 8346   RR+crp 9444   abscabs 10772   lim CC climc 12795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pm 6545  df-limced 12797

This theorem is referenced by:  reldvg  12820  dvfvalap  12822  dvcl  12824